Sayılar Kuramına Giriş(MAT364)
| Ders Kodu | Dersin Adı | Yarıyıl | Teori | Uygulama | Lab | Kredisi | AKTS |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| MAT364 | Sayılar Kuramına Giriş | 6 | 3 | 0 | 0 | 3 | 5 |
| Ön Koşul | |
| Derse Kabul Koşulları |
| Dersin Dili | İngilizce |
| Türü | Seçmeli |
| Dersin Düzeyi | Lisans |
| Dersi Veren(ler) | Ayberk ZEYTİN azeytin@gsu.edu.tr (Email) |
| Dersin Yardımcıları | |
| Dersin Amacı | Bu dersin nihai amacı, karakterler ve Gauss toplamlarını kullanarak kuadratik karşılıklılık yasasını ispatlamaktır. |
| İçerik | Ders, alanın temel kavramlarını ve başlıca araçlarını kapsar; teori ile uygulamayı, yönlendirilmiş örnekler ve kademeli olarak zorlaşan alıştırmalar aracılığıyla ilişkilendirir. |
| Dersin Öğrenme Çıktıları | Dersin sonunda öğrenci, temel kavramları anlayıp biçimsel olarak ifade edebilecek, tipik problemleri bağımsız biçimde çözebilecek ve ders boyunca öğrenilen yöntemleri kuadratik karşılıklılık yasasıyla ilgili somut durumlara uygulayabilecektir. |
| Öğretim Yöntemleri | Öğretim; yapılandırılmış anlatımlar, sınıf içi problem çözümü, tartışmalar ve uygulamalı çalışmalar arasında dönüşümlü olarak yürütülür. Düzenli ödevler ve hedefe yönelik geri bildirimler öğrenmeyi pekiştirir. |
| Kaynaklar |
William Stein, Elementary Number Theory: Primes, Congruences, and Secrets, https://wstein.org/ent/ent.pdf Kenneth Ireland & Michael Rosen, A Classical Introduction to Modern Number Theory Ivan Niven, Herbert Zuckerman, Hugh Montgomery, An Introduction to the Theory of Numbers |
Teori Konu Başlıkları
| Hafta | Konu Başlıkları |
|---|---|
| 1 | Kongrüanslar; mod $n$ aritmetiği; yol gösterici örnekler ve kestirimler |
| 2 | Öklid algoritması ve Bézout özdeşliği. EBOB; modüler tersler; lineer kongrüanslar. |
| 3 | Asal sayılar ve tekil çarpanlara ayrışma. Temel lemmalar; kongrüenslere uygulamalar. |
| 4 | $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times$ grubu. Euler'in $\varphi$ fonksiyonu; Euler teoremi; bir elemanın mertebesi. |
| 5 | Kuadratik kalıntılar: keşif. Bir asal modunda kareler; sayma; ilk kalıntı tabloları. |
| 6 | Legendre sembolü ve Euler ölçütü. Tanım; çarpımsallık; hızlı hesaplamalar. |
| 7 | Ek yasalar. $\left(\frac{-1}{p}\right)$ (mod $4$) ve $\left(\frac{2}{p}\right)$ (mod $8$); yönlendirmeli ispatlar. |
| 8 | Çarpımsal karakterler $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times$ karakterleri; ortogonallik; kuadratik karakter. |
| 9 | Toplamsal karakterler ve birim kökleri. $p$ modunda üstel toplamlar; temel özdeşlikler. |
| 10 | Gauss toplamları I. Tanım $\tau(\chi)$; bükme (twisting) özdeşlikleri; mutlak değer ve örnekler. |
| 11 | Gauss toplamları II. Kuadratik Gauss toplamının değerlendirilmesi; işaretin $p \bmod 4$ ile belirlenmesi. |
| 12 | Kuadratik karşılıklılık. Gauss toplamları ve karakterlerle ispat; adımların sentezi. |
| 13 | Jacobi sembolü ve etkin hesaplama. Bileşik paydalara genelleme; dikkat noktaları ve örnekler. |
| 14 | Uygulamalar & projeler. $x^2\equiv a \pmod p$ denkliğinin çözülebilirliğine karar verme; mini-projeler ve final portfolyoları. |
Uygulama Konu Başlıkları
| Hafta | Konu Başlıkları |
|---|
Başarı Notuna Etki Oranları
| Sayı | Katkı Payı | |
|---|---|---|
| Yarıyıl içi çalışmaların başarı notuna katkısı | 6 | 60 |
| Yarıyıl sonu çalışmaların başarı notuna katkısı | 1 | 40 |
| Toplam | 7 | 100 |
Yarıyıl İçi Çalışmaları
| Sayı | Katkı Payı | |
|---|---|---|
| Ödevler | 6 | 60 |
| Sunum | 0 | 0 |
| Arasınavlar (Hazırlık Süresi Dahil) | 0 | 0 |
| Proje | 0 | 0 |
| Laboratuar | 0 | 0 |
| Diğer Uygulamalar | 0 | 0 |
| Kısa Sınavlar | 0 | 0 |
| Dönem Ödevi / Projesi | 0 | 0 |
| Portfolyo Çalışmaları | 0 | 0 |
| Raporlar | 0 | 0 |
| Öğrenme Günlükleri | 0 | 0 |
| Bitirme Tezi/Projesi | 0 | 0 |
| Seminer | 0 | 0 |
| Diğer | 0 | 0 |
| Bütünleme | 0 | 0 |
| Toplam | 6 | 60 |
| Numara | Program Yeterlilikleri | Puan | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | ||
| 1 | Çıkarım yaparak muhakeme yapmanın ilkelerini anlar; ürettiği ya da karşılaştığı matematiksel ifadenin doğruluğunu ve uygunluğunu sistematik şekilde sorgulayabilir; | X | ||||
| 2 | Temel matematik netice ve kavramlarını doğru şekilde bilir ve kullanır; | X | ||||
| 3 | Sık kullanılan hesap tekniklerine ve algoritmalara hakimdir; bunları hayata geçirmek için iyi bir hesap becerisine sahiptir; bir problemin çözümü için bildiği araçlar arasından ilgili aleti tespit edip kullanabilir ve bu aletlere sahip olup olmadığını muhakeme edebilir; | X | ||||
| 4 | Matematiksel fikirlerini yapılandırarak hem yazılı hem de sözlü ifade edebilir; | X | ||||
| 5 | Bildiği matematiksel kavram ve neticeler arasındaki bağlantıları idrak eder, matematik nesnelerinin temsil biçimlerinin (şekiller, formüller, ifadeler, tahminler, örnek kümeleri , ...) birinden diğerine geçiş yapabilir; | X | ||||
| 6 | Rehber gözetiminde özerk bir öğrenme tecrübesi geçirmiş ve karmaşık bir problemin çözümünün anlaşılması için stratejiler geliştirmiştir; | X | ||||
| 7 | Bilgisayar biliminin teori ve uygulamaları hakkında, bir programlama dili öğrenmeye devam etmeye yetecek temellere sahiptir; | X | ||||
| 8 | Matematik modellerinin uygunluğunu ve matematik aletlerinin doğa bilimlerinde ve iş dünyasında kullanımını sorgulamıştır; matematik kavramlarının tarihi evriminin farkındadır; | X | ||||
| 9 | Bir akademik serbestlik atmosferi içinde matematik içi veya dışı bir konuya adım atma fırsatına sahip olmuştur, eğitimde yolunu kendi başına çizmeyi ve sorumluluk almayı öğrenmiştir; | X | ||||
| 10 | Yabancı bir ülkede okumak ve çalışmaya yetecek seviyede fransızcaya ve başka bir yabancı dile hakimdir. | X | ||||
| Etkinlikler | Sayı | Süre | Toplam İş Yükü |
|---|---|---|---|
| Ders Süresi | 14 | 3 | 42 |
| Sınıf Dışı Çalışma Süresi | 14 | 2 | 28 |
| Ödevler | 6 | 6 | 36 |
| Sunum | 0 | 0 | 0 |
| Arasınavlar (Hazırlık Süresi Dahil) | 0 | 0 | 0 |
| Proje | 0 | 0 | 0 |
| Laboratuar | 0 | 0 | 0 |
| Diğer Uygulamalar | 0 | 0 | 0 |
| Yarıyıl Sonu Sınavı (Hazırlık Süresi Dahil) | 1 | 20 | 20 |
| Kısa Sınavlar | 0 | 0 | 0 |
| Dönem Ödevi / Projesi | 0 | 0 | 0 |
| Portfolyo Çalışmaları | 0 | 0 | 0 |
| Raporlar | 0 | 0 | 0 |
| Öğrenme Günlükleri | 0 | 0 | 0 |
| Bitirme Tezi/Projesi | 0 | 0 | 0 |
| Seminer | 0 | 0 | 0 |
| Diğer | 0 | 0 | 0 |
| Bütünleme | 0 | 0 | 0 |
| Ts Yıl Sonu | 0 | 0 | 0 |
| Hazırlık Yıl Sonu | 0 | 0 | 0 |
| Hazırlık Bütünleme | 0 | 0 | 0 |
| Toplam İş Yükü | 126 | ||
| Toplam İş Yükü / 25 | 5.04 | ||
| Dersin AKTS Kredisi | 5 | ||