Introduction a la Theorie des Nombres(MAT364)
| Nom du Cours | Semestre du Cours | Cours Théoriques | Travaux Dirigés (TD) | Travaux Pratiques (TP) | Crédit du Cours | ECTS | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| MAT364 | Introduction a la Theorie des Nombres | 6 | 3 | 0 | 0 | 3 | 5 |
| Cours Pré-Requis | |
| Conditions d'Admission au Cours |
| Langue du Cours | Anglais |
| Type de Cours | Électif |
| Niveau du Cours | Licence |
| Enseignant(s) du Cours | Ayberk ZEYTİN azeytin@gsu.edu.tr (Email) |
| Assistant(e)s du Cours | |
| Objectif du Cours | Dans ce cours, l'objectif final est d'établir la loi de réciprocité quadratique en utilisant les caractères et les sommes de Gauss. |
| Contenus | Ce cours couvre les notions fondamentales et les outils clés du domaine, en reliant la théorie aux applications à travers des exemples guidés et des exercices progressifs. |
| Acquis d'Apprentissage du Cours | À l’issue du cours, l’étudiant(e) sera capable de comprendre et formaliser les concepts essentiels, de résoudre des problèmes typiques de manière autonome, et d’appliquer les méthodes vues à des situations concrètes concernant la loi de réciprocité quadratique. |
| Méthodes d'Enseignement | L’enseignement alterne exposés structurés, résolution de problèmes en classe, discussions, et travaux pratiques. Des devoirs réguliers et des retours ciblés permettent de consolider les acquis. |
| Ressources |
William Stein, Elementary Number Theory: Primes, Congruences, and Secrets, https://wstein.org/ent/ent.pdf Kenneth Ireland & Michael Rosen, A Classical Introduction to Modern Number Theory Ivan Niven, Herbert Zuckerman, Hugh Montgomery, An Introduction to the Theory of Numbers |
Intitulés des Sujets Théoriques
| Semaine | Intitulés des Sujets |
|---|---|
| 1 | Congruences; arithmétique mod $n$; exemples-guides et conjectures. |
| 2 | Algorithme d'Euclide et identité de Bézout. PGCD; inverses modulaires; congruences linéaires. |
| 3 | Nombres premiers et factorisation unique.}Lemmes de base; applications aux congruences. |
| 4 | Le groupe $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times$. Fonction $\varphi$ d'Euler; théorème d'Euler; ordre d'un élément. |
| 5 | Résidus quadratiques : exploration. Carrés modulo un premier; comptage; premiers tableaux de résidus. |
| 6 | Symbole de Legendre et critère d'Euler.}Définition; multiplicativité; calculs rapides. |
| 7 | Lois supplémentaires. $\left(\frac{-1}{p}\right)$ (mod $4$) et $\left(\frac{2}{p}\right)$ (mod $8$); preuves guidées. |
| 8 | Caractères multiplicatifs. Caractères de $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times$; orthogonalité; caractère quadratique. |
| 9 | Caractères additifs et racines de l'unité. Sommes exponentielles modulo $p$; identités de base. |
| 10 | Sommes de Gauss I. Définition $\tau(\chi)$; identités de torsion; valeur absolue et exemples. |
| 11 | Sommes de Gauss II. Évaluation de la somme de Gauss quadratique; détermination du signe via $p \bmod 4$. |
| 12 | Réciprocité quadratique. Preuve par sommes de Gauss et caractères; synthèse des étapes. |
| 13 | Symbole de Jacobi et calcul effectif. Généralisation au dénominateur composé; prudence et exemples. |
| 14 | Applications \& projets. Décider la solubilité de $x^2\equiv a \pmod p$; mini-projets et portfolios finaux. |
Intitulés des Sujets Pratiques
| Semaine | Intitulés des Sujets |
|---|
Contribution à la Note Finale
| Numéro | Frais de Scolarité | |
|---|---|---|
| Contribution du contrôle continu à la note finale | 6 | 60 |
| Contribution de l'examen final à la note finale | 1 | 40 |
| Toplam | 7 | 100 |
Contrôle Continu
| Numéro | Frais de Scolarité | |
|---|---|---|
| Devoir | 6 | 60 |
| Présentation | 0 | 0 |
| Examen partiel (temps de préparation inclu) | 0 | 0 |
| Projet | 0 | 0 |
| Travail de laboratoire | 0 | 0 |
| Autres travaux pratiques | 0 | 0 |
| Quiz | 0 | 0 |
| Devoir/projet de session | 0 | 0 |
| Portefeuille | 0 | 0 |
| Rapport | 0 | 0 |
| Journal d'apprentissage | 0 | 0 |
| Mémoire/projet de fin d'études | 0 | 0 |
| Séminaire | 0 | 0 |
| Autre | 0 | 0 |
| Make-up | 0 | 0 |
| Toplam | 6 | 60 |
| No | Objectifs Pédagogiques du Programme | Contribiton | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | ||
| 1 | comprend les principes de la méthode hypothético-déductive; s'est interrogé systématiquement sur la pertinence et la justesse des énoncés mathématique qu'il a rencontré ou produit; | X | ||||
| 2 | sait énoncer et utiliser judicieusement les concepts et les résultats des mathématiques de base; | X | ||||
| 3 | maîtrise les techniques de calcul et les algorithmes courants; possède une bonne intelligence de calcul pour les mettre en œuvre; est capable d'identifier les outils pertinents, parmi ceux qu'il connaît, pour la résolution d'un problème, et est capable de juger s’il ne possède pas ces outils; | X | ||||
| 4 | est capable d'exprimer de manière organisée, tant à l'écrit qu'à l'oral, ses idées mathématiques; | X | ||||
| 5 | a réalisé les relations essentielles qui lient entre eux ces concepts et résultats; est capable de passer de l'un à l'autre de divers mode de représentation des objets mathématiques (dessins, formules, énoncés précis, heuristiques, collection d'exemples,...); | X | ||||
| 6 | a poursuivi, en autonomie, une stratégie d'apprentissage guidée; s'est engagé dans des stratégies de résolution d'un problème complexe; | X | ||||
| 7 | a les bases théoriques et pratiques suffisantes en informatique pour pouvoir poursuivre l'apprentissage d'un langage de programmation; | X | ||||
| 8 | s'est interrogé sur la pertinence de la modélisation mathématique et l'usage des outils mathématiques dans les sciences naturelles et dans le monde professionnel; a été sensibilisé à l'évolution historique des concepts mathématiques; | X | ||||
| 9 | a eu l'opportunité de choisir librement certains de ses cours (de mathématiques ou d'autres disciplines) et a, à l'occasion, appris à prendre ses responsabilités et à organiser son projet éducatif par lui-même; | X | ||||
| 10 | a une maîtrise de la langue française et d'une autre langue étrangère suffisante pour pouvoir poursuivre des études ou travailler à l'étranger. | X | ||||
| Activités | Nombre | Durée | Charge totale de Travail |
|---|---|---|---|
| Durée du cours | 14 | 3 | 42 |
| Préparation pour le cours | 14 | 2 | 28 |
| Devoir | 6 | 6 | 36 |
| Présentation | 0 | 0 | 0 |
| Examen partiel (temps de préparation inclu) | 0 | 0 | 0 |
| Projet | 0 | 0 | 0 |
| Laboratoire | 0 | 0 | 0 |
| Autres travaux pratiques | 0 | 0 | 0 |
| Examen final (temps de préparation inclu) | 1 | 20 | 20 |
| Quiz | 0 | 0 | 0 |
| Devoir/projet de session | 0 | 0 | 0 |
| Portefeuille | 0 | 0 | 0 |
| Rapport | 0 | 0 | 0 |
| Journal d'apprentissage | 0 | 0 | 0 |
| Mémoire/projet de fin d'études | 0 | 0 | 0 |
| Séminaire | 0 | 0 | 0 |
| Autre | 0 | 0 | 0 |
| baclé | 0 | 0 | 0 |
| Yil | 0 | 0 | 0 |
| Yil | 0 | 0 | 0 |
| Yil | 0 | 0 | 0 |
| Charge totale de Travail | 126 | ||
| Charge totale de Travail / 25 | 5.04 | ||
| Crédits ECTS | 5 | ||