Mathématiques approfondies II

Contenus

Objectif du Cours

Aujourd’hui, la recherche opérationnelle, les statistiques, l’économie (et à vrai dire la plupart des sciences) font appel à l’étude des fonctions de plusieurs variables.
L’algèbre bilinéaire est un outil fondamental pour étudier ses fonctions.
Ainsi, les formes quadratiques apparaissent naturellement dans tous les problèmes où l’on cherche à approximer (à l’ordre deux) une fonction de plusieurs variables.
Dans ce cadre, rechercher si une fonction admet un minimum revient à savoir si une forme quadratique associée à la fonction est positive (c’est à dire un produit scalaire).
L’algèbre bilinéaire permet aussi d’étendre la notion de longueur et d’angle à des ensembles très généraux et ainsi de ramener les problèmes de recherche de minimums dits de type “moindres carrés” à un problème de recherche de plus courte distance d’un point à un ensemble.
On peut alors déterminer le point où le minimum est atteint en disant qu’une propriété d’orthogonalité est réalisée.
. Dans ce contexte, les objectifs de ce cours sont :
Expliquer aux étudiants comment la notion de produit scalaire permet d’étendre les notions de longueur, d’angle et d’orthogonalité à des espaces vectoriels autres que le plan et l’espace
Transmettre aux étudiants les compétences nécessaires pour déterminer une base orthonormée d’un sous espace vectoriel d’un espace euclidien.
Démontrer aux étudiants que la projection orthogonale permet de calculer la distance d’un point à un sous espace vectoriel.
Transmettre aux étudiants les compétences nécessaires pour diagonaliser en base orthonormée une matrice symétrique de petite dimension.
Expliquer aux étudiants comment la notion de norme permet d’étendre la notion de distance à des espaces vectoriels autres que le plan et l’espace.
Apprendre aux étudiants à déterminer la régularité d’une fonction de plusieurs variables.
Transmettre aux étudiants les compétences nécessaires pour déterminer les extremums d’une fonction de 2 variables.

Contenu du Cours

1.er cours : Formes quadratiques
2.ème cours : Produits scalaires
3.ème cours : Bases orthonormées pour un produit scalaire
4.ème cours : Supplémentaire orthogonal d’un sous espace vectoriel
5.ème cours : Théorème de la projection orthogonale
6.ème cours : Diagonalisation des matrices symétriques
7.ème cours : Normes sur un espace vectoriel
8.ème cours : Equivalence des normes en dimension finie
9.ème cours : Examen partiel
10.ème cours : Continuité d’une fonction de plusieurs variables.
11.ème cours : Dérivées partielles d’une fonction de plusieurs variables.
12.ème cours : Etude des courbes dans le plan ou l’espace
13.ème cours : Etude de surfaces dans l’espace
14.ème cours : Extremums des fonctions de plusieurs variables.

Acquis d'Apprentissage du Cours

L'étudiant qui suivra ce cours développera les éléments de compétence suivants et sera en mesure de :
Reconnaître si une forme quadratique donnée est un produit scalaire
Utiliser le procédé d’orthonormalisation de Gramm-Schmidt pour déterminer une base orthonormée pour un produit scalaire donné
Calculer le supplémentaire orthogonal d’un sous-espace vectoriel donné d’un espace euclidien
Utiliser la projection orthogonale pour calculer la distance entre un vecteur et un sous-espace vectoriel d’un espace euclidien
Trouver une base orthonormée de diagonalisation pour une matrice symétrique de dimension 3 ou 4
Reconnaître si une fonction définit une norme sur un espace vectoriel
Comparer deux normes différentes sur un même espace vectoriel de dimension 2 ou 3
Choisir une norme pour étudier la continuité d’une fonction de plusieurs variables
Reconnaître les points où une fonction de plusieurs variables admet des dérivées partielles
Utiliser le gradient pour calculer la tangente en un point d’une courbe ou le plan tangent en un point d’une surface
Etudier la Hessienne d’une application de deux variables pour rechercher ses extremunms.

Méthodes d'Enseignement

Documents de travail des responsables du cours sur
http://kikencere.gsu.edu.tr/course/view.php?id=18

Ressources

Ders Notları ve Uygulamalar
http://kikencere.gsu.edu.tr/course/view.php?id=18

Intitulés des Sujets

Système d'évalution

Evalution de la Compétence

Tableau de la Charge de Travail