FICHE DESCRIPTIVE DU COURS · MAT421
Sujets sélectionnés III
Électif · Français Ouvert aux étudiants d'échange Erasmus+
Contenus
Objectif du Cours
Ce cours vise à introduire de manière rigoureuse la géométrie différentielle des variétés différentiables. Il a pour objectif de fournir aux étudiants les outils fondamentaux nécessaires à l’étude géométrique et analytique des variétés : espaces tangents, champs de vecteurs, formes différentielles et intégration. Le cours constitue une base théorique essentielle pour l’analyse globale, la topologie différentielle et la physique mathématique.
Contenu du Cours
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Ressources
F. Pham, Géométrie et calcul différentiel sur les variétés.
M. Spivak, Calculus on Manifolds.
J. M. Lee, Introduction to Smooth Manifolds.
S. Lang, Differential and Riemannian Manifolds.
Intitulés des Sujets
| Semaine | Intitulés des Sujets |
|---|---|
| 1 | Rappels de topologie et de calcul différentiel. Motivation et exemples introductifs. |
| 2 | Variétés différentiables : cartes, atlas et structures différentiables. |
| 3 | Applications différentiables entre variétés. Différentielle et rang. |
| 4 | Théorèmes d’inversion locale, des fonctions implicites et des sous-variétés. |
| 5 | Espaces tangents : définitions équivalentes et propriétés fondamentales. |
| 6 | Champs de vecteurs et dérivations. Flots et groupes à un paramètre. |
| 7 | Formes différentielles et algèbre extérieure. |
| 8 | Partiel |
| 9 | Différentielle extérieure et propriétés fondamentales. |
| 10 | Orientation des variétés et intégration des formes différentielles. |
| 11 | Formule de Stokes et théorèmes classiques (Green, Gauss). |
| 12 | Applications géométriques : courbes et surfaces dans ℝ³. |
| 13 | Introduction à la cohomologie de de Rham |
| 14 | Révisions générales et exercices de synthèse. |
Système d'évalution
| Activités | Numéro | Contribution |
|---|---|---|
| Contribution du contrôle continu à la note finale | 1 | 40 |
| Contribution de l'examen final à la note finale | 1 | 60 |
| Total | 2 | 100 |
| Activités | Numéro | Contribution |
|---|---|---|
| Devoir | 0 | 0 |
| Présentation | 0 | 0 |
| Examen partiel (temps de préparation inclu) | 1 | 0 |
| Projet | 0 | 0 |
| Travail de laboratoire | 0 | 0 |
| Autres travaux pratiques | 0 | 0 |
| Quiz | 0 | 0 |
| Devoir/projet de session | 0 | 0 |
| Portefeuille | 0 | 0 |
| Rapport | 0 | 0 |
| Journal d'apprentissage | 0 | 0 |
| Mémoire/projet de fin d'études | 0 | 0 |
| Séminaire | 0 | 0 |
| Autre | 0 | 0 |
| Make-up | 0 | 0 |
| Total | 1 | 0 |