Theorie des fonctions complexes(MAT325)
| Nom du Cours | Semestre du Cours | Cours Théoriques | Travaux Dirigés (TD) | Travaux Pratiques (TP) | Crédit du Cours | ECTS | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| MAT325 | Theorie des fonctions complexes | 6 | 3 | 2 | 0 | 5 | 8 |
| Cours Pré-Requis | MAT102, MAT116 |
| Conditions d'Admission au Cours | MAT102, MAT116 |
| Langue du Cours | Français |
| Type de Cours | Obligatoire |
| Niveau du Cours | Licence |
| Enseignant(s) du Cours | Meral TOSUN mtosun@gsu.edu.tr (Email) |
| Assistant(e)s du Cours | |
| Objectif du Cours | Ce cours a pour but d’introduire les notions de base de l’analyse complexe. Il s’appuie sur des outils déjà rencontrés en analyse (séries entières, intégration, fonctions de plusieurs variables) afin d’aider les étudiants à faire le lien entre les différents cours et à comprendre comment ces notions se généralisent et s’enrichissent dans le cadre des fonctions d’une variable complexe. |
| Contenus |
Séries entières et fonctions analytiques : Séries entières de fonctions complexes, rayon de convergence, propriétés de convergence uniforme sur les compacts, développements de Taylor. Étude des fonctions analytiques, principe des zéros isolés, principe d’unicité et principe du maximum pour les fonctions holomorphes. Fonctions holomorphes : Dérivabilité complexe et équivalence avec les équations de Cauchy–Riemann, interprétation géométrique de l’holomorphie. Intégration des fonctions holomorphes le long de courbes dans le plan complexe, primitives, théorème intégral de Cauchy (formes locale et globale) et conséquences fondamentales. Fonctions méromorphes : Singularités isolées des fonctions holomorphes, classification en singularités illusoires, pôles et singularités essentielles. Développements de Laurent et étude du comportement local des fonctions méromorphes au voisinage des singularités. Théorème des résidus : Définition des résidus, calcul pratique des résidus, théorème des résidus pour les contours de Jordan. Applications au calcul d’intégrales complexes et au calcul d’intégrales réelles par la méthode des résidus. Techniques avancées d’intégration complexe et applications conformes (introduction) : Déformation et déplacement des contours d’intégration, choix de contours adaptés et applications au calcul d’intégrales réelles. Introduction aux applications conformes : notion d’équivalence conforme, interprétation géométrique et premiers exemples d’applications conformes entre domaines du plan complexe. |
| Acquis d'Apprentissage du Cours |
1. Maîtriser la théorie des séries entières, 2. Comprendre et appliquer la théorie des fonctions analytiques, 3. Comprendre l’équivalence entre holomorphie et analyticité, 4. Comprendre les premiers résultats liés à l’étude des singularités, 5. Comprendre et savoir mettre en œuvre les techniques du calcul des résidus, et les appliquer au calcul d’intégrales complexes et réelles. |
| Méthodes d'Enseignement | Cours-TDs intégré, Devoir, Oral |
| Ressources |
J. Bak, D. Newman, Complex Analysis R. Brown, J. Churchill, Complex Variables and Applications L. Ahlfors, Complex Analysis J. B. Conway, Functions of One Complex Variable I |
Intitulés des Sujets Théoriques
| Semaine | Intitulés des Sujets |
|---|---|
| 1 | Nombres complexes et topologie du plan complexe |
| 2 | Séries entières et fonctions de la variable complexe |
| 3 | Dérivabilité complexe et analyticité |
| 4 | Intégration complexe et fonctions entières |
| 5 | Formule intégrale de Cauchy et Théorèmes de Liouville |
| 6 | Fonctions analytiques : propriétés fondamentales |
| 7 | Domaines simplement connexes et logarithme |
| 8 | Partiel |
| 9 | Singularités |
| 10 | Séries de Laurent |
| 11 | Théorème des résidus |
| 12 | Applications du théorème des résidus |
| 13 | Déplacement et déformation des contours d’intégration |
| 14 | Introduction aux applications conformes |
Intitulés des Sujets Pratiques
| Semaine | Intitulés des Sujets |
|---|
Contribution à la Note Finale
| Numéro | Frais de Scolarité | |
|---|---|---|
| Contribution du contrôle continu à la note finale | 4 | 60 |
| Contribution de l'examen final à la note finale | 1 | 40 |
| Toplam | 5 | 100 |
Contrôle Continu
| Numéro | Frais de Scolarité | |
|---|---|---|
| Devoir | 0 | 0 |
| Présentation | 0 | 0 |
| Examen partiel (temps de préparation inclu) | 1 | 30 |
| Projet | 0 | 0 |
| Travail de laboratoire | 0 | 0 |
| Autres travaux pratiques | 0 | 0 |
| Quiz | 2 | 30 |
| Devoir/projet de session | 0 | 0 |
| Portefeuille | 0 | 0 |
| Rapport | 0 | 0 |
| Journal d'apprentissage | 0 | 0 |
| Mémoire/projet de fin d'études | 0 | 0 |
| Séminaire | 0 | 0 |
| Autre | 0 | 0 |
| Make-up | 0 | 0 |
| Toplam | 3 | 60 |
| No | Objectifs Pédagogiques du Programme | Contribiton | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | ||
| 1 | comprend les principes de la méthode hypothético-déductive; s'est interrogé systématiquement sur la pertinence et la justesse des énoncés mathématique qu'il a rencontré ou produit; | X | ||||
| 2 | sait énoncer et utiliser judicieusement les concepts et les résultats des mathématiques de base; | X | ||||
| 3 | maîtrise les techniques de calcul et les algorithmes courants; possède une bonne intelligence de calcul pour les mettre en œuvre; est capable d'identifier les outils pertinents, parmi ceux qu'il connaît, pour la résolution d'un problème, et est capable de juger s’il ne possède pas ces outils; | X | ||||
| 4 | est capable d'exprimer de manière organisée, tant à l'écrit qu'à l'oral, ses idées mathématiques; | X | ||||
| 5 | a réalisé les relations essentielles qui lient entre eux ces concepts et résultats; est capable de passer de l'un à l'autre de divers mode de représentation des objets mathématiques (dessins, formules, énoncés précis, heuristiques, collection d'exemples,...); | X | ||||
| 6 | a poursuivi, en autonomie, une stratégie d'apprentissage guidée; s'est engagé dans des stratégies de résolution d'un problème complexe; | X | ||||
| 7 | a les bases théoriques et pratiques suffisantes en informatique pour pouvoir poursuivre l'apprentissage d'un langage de programmation; | X | ||||
| 8 | s'est interrogé sur la pertinence de la modélisation mathématique et l'usage des outils mathématiques dans les sciences naturelles et dans le monde professionnel; a été sensibilisé à l'évolution historique des concepts mathématiques; | |||||
| 9 | a eu l'opportunité de choisir librement certains de ses cours (de mathématiques ou d'autres disciplines) et a, à l'occasion, appris à prendre ses responsabilités et à organiser son projet éducatif par lui-même; | X | ||||
| 10 | a une maîtrise de la langue française et d'une autre langue étrangère suffisante pour pouvoir poursuivre des études ou travailler à l'étranger. | X | ||||
| Activités | Nombre | Durée | Charge totale de Travail |
|---|---|---|---|
| Durée du cours | 14 | 5 | 70 |
| Préparation pour le cours | 14 | 3 | 42 |
| Devoir | 13 | 4 | 52 |
| Présentation | 5 | 1 | 5 |
| Examen partiel (temps de préparation inclu) | 1 | 5 | 5 |
| Projet | 0 | 0 | 0 |
| Laboratoire | 0 | 0 | 0 |
| Autres travaux pratiques | 0 | 0 | 0 |
| Examen final (temps de préparation inclu) | 1 | 8 | 8 |
| Quiz | 2 | 3 | 6 |
| Devoir/projet de session | 0 | 0 | 0 |
| Portefeuille | 0 | 0 | 0 |
| Rapport | 0 | 0 | 0 |
| Journal d'apprentissage | 0 | 0 | 0 |
| Mémoire/projet de fin d'études | 0 | 0 | 0 |
| Séminaire | 0 | 0 | 0 |
| Autre | 0 | 0 | 0 |
| baclé | 0 | 0 | 0 |
| Yil | 0 | 0 | 0 |
| Yil | 0 | 0 | 0 |
| Yil | 0 | 0 | 0 |
| Charge totale de Travail | 188 | ||
| Charge totale de Travail / 25 | 7.52 | ||
| Crédits ECTS | 8 | ||