Theorie des fonctions complexes

Contenus

Objectif du Cours

Ce cours a pour but d’introduire les notions de base de l’analyse complexe. Il s’appuie sur des outils déjà rencontrés en analyse (séries entières, intégration, fonctions de plusieurs variables) afin d’aider les étudiants à faire le lien entre les différents cours et à comprendre comment ces notions se généralisent et s’enrichissent dans le cadre des fonctions d’une variable complexe.

Contenu du Cours

Séries entières et fonctions analytiques :
Séries entières de fonctions complexes, rayon de convergence, propriétés de convergence uniforme sur les compacts, développements de Taylor. Étude des fonctions analytiques, principe des zéros isolés, principe d’unicité et principe du maximum pour les fonctions holomorphes.
Fonctions holomorphes :
Dérivabilité complexe et équivalence avec les équations de Cauchy–Riemann, interprétation géométrique de l’holomorphie. Intégration des fonctions holomorphes le long de courbes dans le plan complexe, primitives, théorème intégral de Cauchy (formes locale et globale) et conséquences fondamentales.
Fonctions méromorphes :
Singularités isolées des fonctions holomorphes, classification en singularités illusoires, pôles et singularités essentielles. Développements de Laurent et étude du comportement local des fonctions méromorphes au voisinage des singularités.
Théorème des résidus :
Définition des résidus, calcul pratique des résidus, théorème des résidus pour les contours de Jordan. Applications au calcul d’intégrales complexes et au calcul d’intégrales réelles par la méthode des résidus.
Techniques avancées d’intégration complexe et applications conformes (introduction) :
Déformation et déplacement des contours d’intégration, choix de contours adaptés et applications au calcul d’intégrales réelles. Introduction aux applications conformes : notion d’équivalence conforme, interprétation géométrique et premiers exemples d’applications conformes entre domaines du plan complexe.

Acquis d'Apprentissage du Cours

1. Maîtriser la théorie des séries entières,
2. Comprendre et appliquer la théorie des fonctions analytiques,
3. Comprendre l’équivalence entre holomorphie et analyticité,
4. Comprendre les premiers résultats liés à l’étude des singularités,
5. Comprendre et savoir mettre en œuvre les techniques du calcul des résidus, et les appliquer au calcul d’intégrales complexes et réelles.

Méthodes d'Enseignement

Cours-TDs intégré, Devoir, Oral

Ressources

J. Bak, D. Newman, Complex Analysis
R. Brown, J. Churchill, Complex Variables and Applications
L. Ahlfors, Complex Analysis
J. B. Conway, Functions of One Complex Variable I

Intitulés des Sujets

Système d'évalution

Evalution de la Compétence

Tableau de la Charge de Travail