Kombinatorik
eyildirim@gsu.edu.tr
İçerik
Dersin Amacı
Bu ders, kombinatoriğinin temel prensiplerini, yapılarını ve tekniklerini sunmaktadır. Birebir eşlemeli akıl yürütme, üreteç fonksiyonları, kısmen sıralı kümeler, çizgeler ve ağaçlar, Catalan yapıları, permütasyonlar, bölüntüler, Young tabloları ve klasik kombinatoryal denklikleri kapsamaktadır. Ders ayrıca öğrencilerin kombinatoryal argümanlar oluşturma ve görünüşte birbirinden farklı sayma problemlerinde ortak yapıları belirleme yeteneklerini geliştirmeyi amaçlamaktadır.
Dersin İçeriği
Bu ders, sonlu kümeler ve sonlu fonksiyonlar, sayma prensipleri, üreteç fonksiyonları, bağıntılar ve çizgeler, kısmen sıralı kümeler, ağaçlar, permütasyonlar, bölüntüler ve diziler incelenerek kombinatoriğe giriş sunmaktadır. Catalan konfigürasyonları, ikili ağaçlar, çokgen üçgenlemeler ve tam sayı bölüntüleri gibi klasik sayım aileleri, bunları birbirine bağlayan birebir eşlemelerle birlikte incelenmektedir. Ders, sayım, cebirsel yapı ve kombinatoryal algoritmalar arasındaki etkileşimi gösteren Young tabloları ve Robinson-Schensted-Knuth denklikleri incelenmesiyle sona ermektedir.
Dersin Öğrenme Çıktıları
Bu dersin sonunda öğrenciler, sayma işlemlerinin temel prensiplerini uygulayabilecek; kombinatoryal birebir eşlemeleri oluşturup analiz edebilecek; ve standart Catalan ailelerini sayıp birbirine bağlayabileceklerdir. Öğrenciler ayrıca kombinatoryal akıl yürütmeyi açık ve formal bir şekilde sunabileceklerdir.
Öğretim Yöntemleri
Bu ders, somut örnekler ve kombinatoryal ispatlar içeren ders anlatımlarını içerecektir. Dersin sonunda öğrenciler, matematiksel özerkliklerini ve kombinatoryal kavramları etkili bir şekilde iletme becerilerini geliştirmek amacıyla seçtikleri konular üzerine sunumlar yapacaklardır.
Kaynaklar
Introduction à la combinatoire
Notes de cours
Professeur : François Bergeron
Konu Başlıkları
| Hafta | Konu Başlıkları |
|---|---|
| 1 | Kümeler, fonksiyonlar ve birebir eşlemeler konularını hatırlatma |
| 2 | Kümelerin kardinaliteleri, güvercin yuvası prensibi, kapsama-dışlama prensibi, diziler ve üreten seriler |
| 3 | Bağıntılar, çizgeler, izomorfizmler, eşdeğerlikler, bölmeler |
| 4 | Yönlendirilmiş bir çizgedeki sıralamalar, kafesler, yollar |
| 5 | Ağaçlar, endofonksiyonlar |
| 6 | İkili ağaçlar, bir çokgenin üçgenleştirilmesi |
| 7 | Ara Sınav |
| 8 | Ara Sınav Çözümleri |
| 9 | Catalan konfigürasyonları ve birebir eşlemeler |
| 10 | Permütasyonlar, terslemeler, bölmeler |
| 11 | Ferres diyagramları, Euler'in beşgen teoremi |
| 12 | Young'ın tabloları, Robinson-Schensted-Knuth denklikleri |
| 13 | Öğrencilerin sunumları |
| 14 | Öğrencilerin sunumları |
Değerlendirme Sistemi
| Etkinlikler | Sayı | Katkı Payı |
|---|---|---|
| Yarıyıl içi çalışmaların başarı notuna katkısı | 2 | 60 |
| Yarıyıl sonu çalışmaların başarı notuna katkısı | 1 | 40 |
| Toplam | 3 | 100 |
| Etkinlikler | Sayı | Katkı Payı |
|---|---|---|
| Ödevler | 0 | 0 |
| Sunum | 1 | 30 |
| Arasınavlar (Hazırlık Süresi Dahil) | 1 | 30 |
| Proje | 0 | 0 |
| Laboratuar | 0 | 0 |
| Diğer Uygulamalar | 0 | 0 |
| Kısa Sınavlar | 0 | 0 |
| Dönem Ödevi / Projesi | 0 | 0 |
| Portfolyo Çalışmaları | 0 | 0 |
| Raporlar | 0 | 0 |
| Öğrenme Günlükleri | 0 | 0 |
| Bitirme Tezi/Projesi | 0 | 0 |
| Seminer | 0 | 0 |
| Diğer | 0 | 0 |
| Bütünleme | 0 | 0 |
| Toplam | 2 | 60 |
Yeterlilik İlişkisi
| Numara | Program Yeterlilikleri | Puan | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | ||
| 1 | Çıkarım yaparak muhakeme yapmanın ilkelerini anlar; ürettiği ya da karşılaştığı matematiksel ifadenin doğruluğunu ve uygunluğunu sistematik şekilde sorgulayabilir; | X | ||||
| 2 | Temel matematik netice ve kavramlarını doğru şekilde bilir ve kullanır; | X | ||||
| 3 | Sık kullanılan hesap tekniklerine ve algoritmalara hakimdir; bunları hayata geçirmek için iyi bir hesap becerisine sahiptir; bir problemin çözümü için bildiği araçlar arasından ilgili aleti tespit edip kullanabilir ve bu aletlere sahip olup olmadığını muhakeme edebilir; | X | ||||
| 4 | Matematiksel fikirlerini yapılandırarak hem yazılı hem de sözlü ifade edebilir; | X | ||||
| 5 | Bildiği matematiksel kavram ve neticeler arasındaki bağlantıları idrak eder, matematik nesnelerinin temsil biçimlerinin (şekiller, formüller, ifadeler, tahminler, örnek kümeleri , ...) birinden diğerine geçiş yapabilir; | X | ||||
| 6 | Rehber gözetiminde özerk bir öğrenme tecrübesi geçirmiş ve karmaşık bir problemin çözümünün anlaşılması için stratejiler geliştirmiştir; | X | ||||
| 7 | Bilgisayar biliminin teori ve uygulamaları hakkında, bir programlama dili öğrenmeye devam etmeye yetecek temellere sahiptir; | X | ||||
| 8 | Matematik modellerinin uygunluğunu ve matematik aletlerinin doğa bilimlerinde ve iş dünyasında kullanımını sorgulamıştır; matematik kavramlarının tarihi evriminin farkındadır; | X | ||||
| 9 | Bir akademik serbestlik atmosferi içinde matematik içi veya dışı bir konuya adım atma fırsatına sahip olmuştur, eğitimde yolunu kendi başına çizmeyi ve sorumluluk almayı öğrenmiştir; | X | ||||
| 10 | Yabancı bir ülkede okumak ve çalışmaya yetecek seviyede fransızcaya ve başka bir yabancı dile hakimdir. | X | ||||
AKTS - İş Yükü Tablosu
| Etkinlikler | Sayı | Süre | Toplam İş Yükü |
|---|---|---|---|
| Ders Süresi | 14 | 3 | 42 |
| Sınıf Dışı Çalışma Süresi | 14 | 3 | 42 |
| Ödevler | 0 | 0 | 0 |
| Sunum | 1 | 14 | 14 |
| Arasınavlar (Hazırlık Süresi Dahil) | 1 | 8 | 8 |
| Proje | 0 | 0 | 0 |
| Laboratuar | 0 | 0 | 0 |
| Diğer Uygulamalar | 0 | 0 | 0 |
| Yarıyıl Sonu Sınavı (Hazırlık Süresi Dahil) | 1 | 10 | 10 |
| Kısa Sınavlar | 0 | 0 | 0 |
| Dönem Ödevi / Projesi | 0 | 0 | 0 |
| Portfolyo Çalışmaları | 0 | 0 | 0 |
| Raporlar | 0 | 0 | 0 |
| Öğrenme Günlükleri | 0 | 0 | 0 |
| Bitirme Tezi/Projesi | 0 | 0 | 0 |
| Seminer | 0 | 0 | 0 |
| Diğer | 0 | 0 | 0 |
| Bütünleme | 0 | 0 | 0 |
| Ts Yıl Sonu | 0 | 0 | 0 |
| Hazırlık Yıl Sonu | 0 | 0 | 0 |
| Hazırlık Bütünleme | 0 | 0 | 0 |
| Toplam İş Yükü | 116 | ||
| Toplam İş Yükü / 25 | 4.64 | ||
| Dersin AKTS Kredisi | 5 | ||