Metrik Topoloji
gonay@gsu.edu.tr
İçerik
Dersin Amacı
Bu dersin amacı, metrik uzaylar teorisini tanıtarak, bu yapıların temel özelliklerini ve uygulamalarını öğretmektir. Öğrenciler, metrik uzaylar kavramını öğrenerek, analiz ve topolojideki önemli sonuçları derinlemesine kavrayacaklardır. Ayrıca, öğrencilerin soyut matematiksel düşünme becerilerini geliştirmek amaçlanmaktadır.
Dersin İçeriği
Ders, R üzerinde bilinen yakınlık, yakınsaklık ve süreklilik kavramlarını herhangi bir metrik uzaya genelleştirir. İçerik: uzaklıklar, örnekleri ve kuruluşları; topolojik sözlük (yuvarlar, açık ve kapalı kümeler, iç, kapanış, sınır); diziler ve yakınsaklık; sürekli fonksiyonlar ve homeomorfizmalar; kompaktlık; normlu vektör uzayları; bağlantılılık; ve tamlık ile Banach sabit nokta teoremi.
Dersin Öğrenme Çıktıları
Metrik uzayların temel kavramlarını ve örneklerini tanımlayabilme.
Metrik uzaylarda diziler, süreklilik ve homeomorfizma kavramlarını kavrayabilme.
Kompaktlığın farklı karakterizasyonlarını bilme ve Heine-Borel teoremini uygulayabilme.
Bağlantılılık ve yolla bağlantılılık kavramlarını açıklayabilme ve ara değer teoremini kullanabilme.
Normlu vektör uzaylarında doğrusal dönüşümlerin sürekliliğini ve sonlu boyutta normların denkliğini kavrayabilme.
Tamlık kavramını, Banach sabit nokta teoremini ve uygulamalarını analiz edebilme.
Öğretim Yöntemleri
Teorik ders anlatımı: Temel kavramlar ve teoremler sınıfta anlatılacaktır.
Uygulamalı problemler: Öğrencilerle birlikte örnek problemler çözülerek kavramlar pekiştirilecektir.
Öğrenci merkezli tartışmalar: Zorlayıcı problemler üzerinden öğrenci tartışmaları teşvik edilecektir.
Kaynaklar
https://github.com/onayg/mat301
An introduction to real analysis, Tosun Terzioğlu
Burroni E, La topologie des espaces métriques : niveau L3 : cours et exercices corrigés
Konu Başlıkları
| Hafta | Konu Başlıkları |
|---|---|
| 1 | Hazırlık: N, Z, Q, R; en küçük üst sınır özelliği. |
| 2 | Uzaklıklar: aksiyomlar; alışılmış, ayrık, SNCF ve p-adik örnekler. |
| 3 | Kuruluşlar: indirgenmiş uzaklık, ters görüntü, çarpım, norm. |
| 4 | Yuvarlar, komşuluklar, açık ve kapalı kümeler. |
| 5 | İç, kapanış, sınır; metriklerin topolojik denkliği. |
| 6 | Diziler: yığılma noktaları, yakınsaklık, kapalı kümelerin dizisel karakterizasyonu. |
| 7 | Sürekli fonksiyonlar; Lipschitz fonksiyonlar; homeomorfizmalar. |
| 8 | Kompaktlık: sonlu alt örtüler, Bolzano-Weierstrass. |
| 9 | Lebesgue sayısı; Heine-Borel teoremi; kompakt alt kümeler. |
| 10 | Normlu vektör uzayları: doğrusal dönüşümlerin sürekliliği. |
| 11 | Sonlu boyutta normların denkliği; Riesz lemması; yerel kompaktlık. |
| 12 | Bağlantılılık: karakterizasyonlar, bağlantılı bileşenler, ara değer teoremi. |
| 13 | Yolla bağlantılılık; normlu vektör uzaylarında konvekslik. |
| 14 | Tamlık: Cauchy dizileri, Cantor ölçütü; Banach sabit nokta teoremi. |
Değerlendirme Sistemi
| Etkinlikler | Sayı | Katkı Payı |
|---|---|---|
| Yarıyıl içi çalışmaların başarı notuna katkısı | 4 | 50 |
| Yarıyıl sonu çalışmaların başarı notuna katkısı | 1 | 50 |
| Toplam | 5 | 100 |
| Etkinlikler | Sayı | Katkı Payı |
|---|---|---|
| Ödevler | 0 | 0 |
| Sunum | 0 | 0 |
| Arasınavlar (Hazırlık Süresi Dahil) | 0 | 0 |
| Proje | 0 | 0 |
| Laboratuar | 0 | 0 |
| Diğer Uygulamalar | 0 | 0 |
| Kısa Sınavlar | 4 | 0 |
| Dönem Ödevi / Projesi | 0 | 0 |
| Portfolyo Çalışmaları | 0 | 0 |
| Raporlar | 0 | 0 |
| Öğrenme Günlükleri | 0 | 0 |
| Bitirme Tezi/Projesi | 0 | 0 |
| Seminer | 0 | 0 |
| Diğer | 0 | 0 |
| Bütünleme | 0 | 0 |
| Toplam | 4 | 0 |
Yeterlilik İlişkisi
| Numara | Program Yeterlilikleri | Puan | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | ||
| 1 | Çıkarım yaparak muhakeme yapmanın ilkelerini anlar; ürettiği ya da karşılaştığı matematiksel ifadenin doğruluğunu ve uygunluğunu sistematik şekilde sorgulayabilir; | X | ||||
| 2 | Temel matematik netice ve kavramlarını doğru şekilde bilir ve kullanır; | X | ||||
| 3 | Sık kullanılan hesap tekniklerine ve algoritmalara hakimdir; bunları hayata geçirmek için iyi bir hesap becerisine sahiptir; bir problemin çözümü için bildiği araçlar arasından ilgili aleti tespit edip kullanabilir ve bu aletlere sahip olup olmadığını muhakeme edebilir; | X | ||||
| 4 | Matematiksel fikirlerini yapılandırarak hem yazılı hem de sözlü ifade edebilir; | X | ||||
| 5 | Bildiği matematiksel kavram ve neticeler arasındaki bağlantıları idrak eder, matematik nesnelerinin temsil biçimlerinin (şekiller, formüller, ifadeler, tahminler, örnek kümeleri , ...) birinden diğerine geçiş yapabilir; | X | ||||
| 6 | Rehber gözetiminde özerk bir öğrenme tecrübesi geçirmiş ve karmaşık bir problemin çözümünün anlaşılması için stratejiler geliştirmiştir; | X | ||||
| 7 | Bilgisayar biliminin teori ve uygulamaları hakkında, bir programlama dili öğrenmeye devam etmeye yetecek temellere sahiptir; | X | ||||
| 8 | Matematik modellerinin uygunluğunu ve matematik aletlerinin doğa bilimlerinde ve iş dünyasında kullanımını sorgulamıştır; matematik kavramlarının tarihi evriminin farkındadır; | X | ||||
| 9 | Bir akademik serbestlik atmosferi içinde matematik içi veya dışı bir konuya adım atma fırsatına sahip olmuştur, eğitimde yolunu kendi başına çizmeyi ve sorumluluk almayı öğrenmiştir; | X | ||||
| 10 | Yabancı bir ülkede okumak ve çalışmaya yetecek seviyede fransızcaya ve başka bir yabancı dile hakimdir. | X | ||||
AKTS - İş Yükü Tablosu
| Etkinlikler | Sayı | Süre | Toplam İş Yükü |
|---|---|---|---|
| Ders Süresi | 70 | 1 | 70 |
| Sınıf Dışı Çalışma Süresi | 14 | 4 | 56 |
| Ödevler | 0 | 0 | 0 |
| Sunum | 0 | 0 | 0 |
| Arasınavlar (Hazırlık Süresi Dahil) | 0 | 0 | 0 |
| Proje | 0 | 0 | 0 |
| Laboratuar | 0 | 0 | 0 |
| Diğer Uygulamalar | 0 | 0 | 0 |
| Yarıyıl Sonu Sınavı (Hazırlık Süresi Dahil) | 0 | 0 | 0 |
| Kısa Sınavlar | 6 | 8 | 48 |
| Dönem Ödevi / Projesi | 0 | 0 | 0 |
| Portfolyo Çalışmaları | 0 | 0 | 0 |
| Raporlar | 0 | 0 | 0 |
| Öğrenme Günlükleri | 0 | 0 | 0 |
| Bitirme Tezi/Projesi | 0 | 0 | 0 |
| Seminer | 0 | 0 | 0 |
| Diğer | 0 | 0 | 0 |
| Bütünleme | 1 | 25 | 25 |
| Toplam İş Yükü | 199 | ||
| Toplam İş Yükü / 25 | 7.96 | ||
| Dersin AKTS Kredisi | 8 | ||