Metrik Topoloji
gonay@gsu.edu.tr
İçerik
Dersin Amacı
Bu dersin amacı, metrik uzaylar teorisini tanıtarak, bu yapıların temel özelliklerini ve uygulamalarını öğretmektir. Öğrenciler, metrik uzaylar kavramını öğrenerek, analiz ve topolojideki önemli sonuçları derinlemesine kavrayacaklardır. Ayrıca, öğrencilerin soyut matematiksel düşünme becerilerini geliştirmek amaçlanmaktadır.
Dersin İçeriği
Bu ders, metrik uzaylar teorisinin temel kavramlarını öğretmeyi amaçlamaktadır. İlk olarak, R üzerindeki temel özellikler ve R'deki diziler üzerinde durulacak, ardından metrik uzay kavramı tanıtılacak ve çeşitli örneklerle desteklenecektir. Metrik uzaylardaki açık ve kapalı kümeler ele alınarak, bu yapıların temel özellikleri incelenecektir. Metrik uzaylardaki dizilerin yakınsaklığı ve tam metrik uzaylar kavramları detaylı olarak işlenecektir. Sürekli fonksiyonlar ve metrik uzaylarda süreklilik kavramları da dersin içeriğinde yer alacaktır. Ayrıca, metrik uzaylarda kompaktlık kavramı üzerinde durulacak ve bu konu üç hafta boyunca detaylı olarak ele alınacaktır. Dersin son kısmında ise Banach sabit nokta teoremi ve bu teoremin çeşitli uygulamaları üzerinde durulacaktır.
Dersin Öğrenme Çıktıları
Metrik uzayların temel kavramlarını ve örneklerini tanımlayabilme.
Metrik uzaylarda diziler ve fonksiyonlarla ilgili temel kavramları kavrayabilme.
Metrik uzaylarda kompaktlık, yakınsaklık ve tamlık kavramlarını açıklayabilme.
Banach sabit nokta teoremi ve uygulamalarını analiz edebilme.
Soyut matematiksel problemleri çözmede metrik uzaylar kavramını kullanabilme.
Öğretim Yöntemleri
Teorik ders anlatımı: Temel kavramlar ve teoremler sınıfta anlatılacaktır.
Uygulamalı problemler: Öğrencilerle birlikte örnek problemler çözülerek kavramlar pekiştirilecektir.
Öğrenci merkezli tartışmalar: Zorlayıcı problemler üzerinden öğrenci tartışmaları teşvik edilecektir.
Kaynaklar
An introduction to real analysis, Tosun Terzioğlu
Burroni E, La topologie des espaces métriques : niveau L3 : cours et exercices corrigés
Konu Başlıkları
| Hafta | Konu Başlıkları |
|---|---|
| 1 | Gerçel sayılar kümesinin özellikleri |
| 2 | Gerçel sayılar kümesinde diziler, kümelerin yığılma noktaları, dizilerin limit değerleri |
| 3 | Gerçel sayılar kümesinin açık ve kapalı alt kümeleri |
| 4 | Metrik uzaylar : tanım ve örnekler |
| 5 | Metrik uzaylardaki açık ve kapalı kümeler |
| 6 | Metrik uzaylarda diziler ve yakınsaklık, kümelerin yığılma noktaları, dizilerin limit değerleri |
| 7 | Metrik uzayların topolojik özellikleri : tamlık |
| 8 | Metrik uzayların topolojik özellikleri : kompaktlık |
| 9 | Metrik uzayların topolojik özellikleri : bağlılık |
| 10 | Fonksiyon uzaylarında diziler ve limitleri |
| 11 | Fonksiyon uzaylarında açık ve kapalı kümeler |
| 12 | Fonksiyon uzaylarının topolojik özellikleri |
| 13 | Banach sabit nokta teoremi |
| 14 | Banach sabit nokta teoreminin uygulamaları |
Değerlendirme Sistemi
| Etkinlikler | Sayı | Katkı Payı |
|---|---|---|
| Yarıyıl içi çalışmaların başarı notuna katkısı | 1 | 50 |
| Yarıyıl sonu çalışmaların başarı notuna katkısı | 1 | 50 |
| Toplam | 2 | 100 |
| Etkinlikler | Sayı | Katkı Payı |
|---|---|---|
| Ödevler | 0 | 0 |
| Sunum | 0 | 0 |
| Arasınavlar (Hazırlık Süresi Dahil) | 0 | 0 |
| Proje | 1 | 0 |
| Laboratuar | 0 | 0 |
| Diğer Uygulamalar | 0 | 0 |
| Kısa Sınavlar | 0 | 0 |
| Dönem Ödevi / Projesi | 0 | 0 |
| Portfolyo Çalışmaları | 0 | 0 |
| Raporlar | 0 | 0 |
| Öğrenme Günlükleri | 0 | 0 |
| Bitirme Tezi/Projesi | 0 | 0 |
| Seminer | 0 | 0 |
| Diğer | 0 | 0 |
| Bütünleme | 0 | 0 |
| Toplam | 1 | 0 |
Yeterlilik İlişkisi
| Numara | Program Yeterlilikleri | Puan | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | ||
| 1 | Çıkarım yaparak muhakeme yapmanın ilkelerini anlar; ürettiği ya da karşılaştığı matematiksel ifadenin doğruluğunu ve uygunluğunu sistematik şekilde sorgulayabilir; | X | ||||
| 2 | Temel matematik netice ve kavramlarını doğru şekilde bilir ve kullanır; | X | ||||
| 3 | Sık kullanılan hesap tekniklerine ve algoritmalara hakimdir; bunları hayata geçirmek için iyi bir hesap becerisine sahiptir; bir problemin çözümü için bildiği araçlar arasından ilgili aleti tespit edip kullanabilir ve bu aletlere sahip olup olmadığını muhakeme edebilir; | X | ||||
| 4 | Matematiksel fikirlerini yapılandırarak hem yazılı hem de sözlü ifade edebilir; | X | ||||
| 5 | Bildiği matematiksel kavram ve neticeler arasındaki bağlantıları idrak eder, matematik nesnelerinin temsil biçimlerinin (şekiller, formüller, ifadeler, tahminler, örnek kümeleri , ...) birinden diğerine geçiş yapabilir; | X | ||||
| 6 | Rehber gözetiminde özerk bir öğrenme tecrübesi geçirmiş ve karmaşık bir problemin çözümünün anlaşılması için stratejiler geliştirmiştir; | X | ||||
| 7 | Bilgisayar biliminin teori ve uygulamaları hakkında, bir programlama dili öğrenmeye devam etmeye yetecek temellere sahiptir; | X | ||||
| 8 | Matematik modellerinin uygunluğunu ve matematik aletlerinin doğa bilimlerinde ve iş dünyasında kullanımını sorgulamıştır; matematik kavramlarının tarihi evriminin farkındadır; | X | ||||
| 9 | Bir akademik serbestlik atmosferi içinde matematik içi veya dışı bir konuya adım atma fırsatına sahip olmuştur, eğitimde yolunu kendi başına çizmeyi ve sorumluluk almayı öğrenmiştir; | X | ||||
| 10 | Yabancı bir ülkede okumak ve çalışmaya yetecek seviyede fransızcaya ve başka bir yabancı dile hakimdir. | X | ||||
AKTS - İş Yükü Tablosu
| Etkinlikler | Sayı | Süre | Toplam İş Yükü |
|---|---|---|---|
| Ders Süresi | 70 | 1 | 70 |
| Sınıf Dışı Çalışma Süresi | 14 | 4 | 56 |
| Ödevler | 0 | 0 | 0 |
| Sunum | 0 | 0 | 0 |
| Arasınavlar (Hazırlık Süresi Dahil) | 0 | 0 | 0 |
| Proje | 0 | 0 | 0 |
| Laboratuar | 0 | 0 | 0 |
| Diğer Uygulamalar | 0 | 0 | 0 |
| Yarıyıl Sonu Sınavı (Hazırlık Süresi Dahil) | 0 | 0 | 0 |
| Kısa Sınavlar | 6 | 8 | 48 |
| Dönem Ödevi / Projesi | 0 | 0 | 0 |
| Portfolyo Çalışmaları | 0 | 0 | 0 |
| Raporlar | 0 | 0 | 0 |
| Öğrenme Günlükleri | 0 | 0 | 0 |
| Bitirme Tezi/Projesi | 0 | 0 | 0 |
| Seminer | 0 | 0 | 0 |
| Diğer | 0 | 0 | 0 |
| Bütünleme | 1 | 25 | 25 |
| Toplam İş Yükü | 199 | ||
| Toplam İş Yükü / 25 | 7.96 | ||
| Dersin AKTS Kredisi | 8 | ||