Topologie Metrique
gonay@gsu.edu.tr
Contenus
Objectif du Cours
L'objectif de ce cours est d'introduire la théorie des espaces métriques et d'enseigner les propriétés fondamentales et les applications de ces structures. En apprenant le concept d'espaces métriques, les étudiants comprendront en profondeur des résultats importants en analyse et en topologie. Le cours vise également à développer les compétences de pensée mathématique abstraite des étudiants.
Contenu du Cours
Le cours généralise à des espaces métriques arbitraires les notions de proximité, de convergence et de continuité connues sur R. Il traite : les distances, leurs exemples et leurs constructions ; le vocabulaire topologique (boules, ouverts, fermés, intérieur, adhérence, frontière) ; les suites et la convergence ; les applications continues et les homéomorphismes ; la compacité ; les espaces vectoriels normés ; la connexité ; et la complétude jusqu'au théorème du point fixe de Banach.
Acquis d'Apprentissage du Cours
Être capable de définir les concepts fondamentaux et les exemples des espaces métriques.
Comprendre les suites, la continuité et les homéomorphismes dans les espaces métriques.
Connaître les différentes caractérisations de la compacité et appliquer le théorème de Heine-Borel.
Expliquer la connexité et la connexité par arcs, et utiliser le théorème des valeurs intermédiaires.
Comprendre la continuité des applications linéaires et l'équivalence des normes en dimension finie dans les espaces vectoriels normés.
Analyser la complétude, le théorème du point fixe de Banach et ses applications.
Méthodes d'Enseignement
Cours théorique : Les concepts fondamentaux et les théorèmes seront présentés en classe.
Problèmes appliqués : Des problèmes exemples seront résolus avec les étudiants pour consolider les concepts.
Quiz et examens : Des quiz réguliers et un examen de fin de semestre permettront de suivre les progrès des étudiants.
Discussions centrées sur les étudiants : Des discussions entre étudiants seront encouragées à travers des problèmes stimulants.
Ressources
https://github.com/onayg/mat301
An introduction to real analysis, Tosun Terzioğlu
Burroni E, La topologie des espaces métriques : niveau L3 : cours et exercices corrigés
Intitulés des Sujets
| Semaine | Intitulés des Sujets |
|---|---|
| 1 | Rappels : N, Z, Q, R ; propriété de la borne supérieure. |
| 2 | Distances : axiomes ; exemples usuels, discrète, SNCF, p-adique. |
| 3 | Constructions : distance induite, image réciproque, produit, norme. |
| 4 | Boules, voisinages, ouverts, fermés. |
| 5 | Intérieur, adhérence, frontière ; équivalence topologique des métriques. |
| 6 | Suites : points d'accumulation, convergence, caractérisation séquentielle des fermés. |
| 7 | Applications continues ; applications lipschitziennes ; homéomorphismes. |
| 8 | Compacité : recouvrements finis, Bolzano-Weierstrass. |
| 9 | Nombre de Lebesgue ; théorème de Heine-Borel ; parties compactes. |
| 10 | Espaces vectoriels normés : continuité des applications linéaires. |
| 11 | Équivalence des normes en dimension finie ; lemme de Riesz ; compacité locale. |
| 12 | Connexité : caractérisations, composantes connexes, théorème des valeurs intermédiaires. |
| 13 | Connexité par arcs ; convexité dans les espaces vectoriels normés. |
| 14 | Complétude : suites de Cauchy, critère de Cantor ; théorème du point fixe de Banach. |
Système d'évalution
| Activités | Numéro | Contribution |
|---|---|---|
| Contribution du contrôle continu à la note finale | 4 | 50 |
| Contribution de l'examen final à la note finale | 1 | 50 |
| Total | 5 | 100 |
| Activités | Numéro | Contribution |
|---|---|---|
| Devoir | 0 | 0 |
| Présentation | 0 | 0 |
| Examen partiel (temps de préparation inclu) | 0 | 0 |
| Projet | 0 | 0 |
| Travail de laboratoire | 0 | 0 |
| Autres travaux pratiques | 0 | 0 |
| Quiz | 4 | 0 |
| Devoir/projet de session | 0 | 0 |
| Portefeuille | 0 | 0 |
| Rapport | 0 | 0 |
| Journal d'apprentissage | 0 | 0 |
| Mémoire/projet de fin d'études | 0 | 0 |
| Séminaire | 0 | 0 |
| Autre | 0 | 0 |
| Make-up | 0 | 0 |
| Total | 4 | 0 |
Evalution de la Compétence
| No | Objectifs Pédagogiques du Programme | Contribiton | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | ||
| 1 | comprend les principes de la méthode hypothético-déductive; s'est interrogé systématiquement sur la pertinence et la justesse des énoncés mathématique qu'il a rencontré ou produit; | X | ||||
| 2 | sait énoncer et utiliser judicieusement les concepts et les résultats des mathématiques de base; | X | ||||
| 3 | maîtrise les techniques de calcul et les algorithmes courants; possède une bonne intelligence de calcul pour les mettre en œuvre; est capable d'identifier les outils pertinents, parmi ceux qu'il connaît, pour la résolution d'un problème, et est capable de juger s’il ne possède pas ces outils; | X | ||||
| 4 | est capable d'exprimer de manière organisée, tant à l'écrit qu'à l'oral, ses idées mathématiques; | X | ||||
| 5 | a réalisé les relations essentielles qui lient entre eux ces concepts et résultats; est capable de passer de l'un à l'autre de divers mode de représentation des objets mathématiques (dessins, formules, énoncés précis, heuristiques, collection d'exemples,...); | X | ||||
| 6 | a poursuivi, en autonomie, une stratégie d'apprentissage guidée; s'est engagé dans des stratégies de résolution d'un problème complexe; | X | ||||
| 7 | a les bases théoriques et pratiques suffisantes en informatique pour pouvoir poursuivre l'apprentissage d'un langage de programmation; | X | ||||
| 8 | s'est interrogé sur la pertinence de la modélisation mathématique et l'usage des outils mathématiques dans les sciences naturelles et dans le monde professionnel; a été sensibilisé à l'évolution historique des concepts mathématiques; | X | ||||
| 9 | a eu l'opportunité de choisir librement certains de ses cours (de mathématiques ou d'autres disciplines) et a, à l'occasion, appris à prendre ses responsabilités et à organiser son projet éducatif par lui-même; | X | ||||
| 10 | a une maîtrise de la langue française et d'une autre langue étrangère suffisante pour pouvoir poursuivre des études ou travailler à l'étranger. | X | ||||
Tableau de la Charge de Travail
| Activités | Nombre | Durée | Charge totale de Travail |
|---|---|---|---|
| Durée du cours | 70 | 1 | 70 |
| Préparation pour le cours | 14 | 4 | 56 |
| Devoir | 0 | 0 | 0 |
| Présentation | 0 | 0 | 0 |
| Examen partiel (temps de préparation inclu) | 0 | 0 | 0 |
| Projet | 0 | 0 | 0 |
| Laboratoire | 0 | 0 | 0 |
| Autres travaux pratiques | 0 | 0 | 0 |
| Examen final (temps de préparation inclu) | 0 | 0 | 0 |
| Quiz | 6 | 8 | 48 |
| Devoir/projet de session | 0 | 0 | 0 |
| Portefeuille | 0 | 0 | 0 |
| Rapport | 0 | 0 | 0 |
| Journal d'apprentissage | 0 | 0 | 0 |
| Mémoire/projet de fin d'études | 0 | 0 | 0 |
| Séminaire | 0 | 0 | 0 |
| Autre | 0 | 0 | 0 |
| baclé | 1 | 25 | 25 |
| Charge totale de Travail | 199 | ||
| Charge totale de Travail / 25 | 7.96 | ||
| Crédits ECTS | 8 | ||