Matematiğin Temelleri (MAT115) | GSÜ - AKTS Bilgilendirme Sistemi

İçerik

Dersin Amacı

Bu ders, öğrencileri modern matematiğin temel dili, yöntemleri ve temel yapılarıyla tanıştırır. Önermeler ve yüklem mantığı, niceleyiciler, ispat yöntemleri, kümeler, ilişkiler, fonksiyonlar ve kardinalite konularını içerir. Bir diğer amaç ise, özellikle Zermelo-Fraenkel aksiyomları ve Seçim Aksiyomu (ZFC) ile birlikte aksiyomatik küme teorisine aşinalık kazandırmak ve Cantor'un çalışmalarının sonsuz kümelerin modern anlayışındaki rolünü açıklamaktır.

Dersin İçeriği

Bu ders, matematiksel akıl yürütmeye ve matematiğin temellerine giriş niteliğindedir. Önermeler mantığı, yüklemler ve niceleyicilerle başlar, ardından standart ispat yöntemlerine geçer. Daha sonra, kümeler, küme işlemleri, ilişkiler ve fonksiyonların temel teorisini geliştirir. Son bölüm, Cantor'un sonsuz kümeler teorisini, ZFC'nin aksiyomatik çerçevesini ve sonlu ve sonsuz kardinalitelerin karşılaştırmasını tanıtır. Ders boyunca, titiz matematiksel argüman dilini ve alışkanlıklarını geliştirmek için biçimsel tanımlar ve temel ispatlar kullanılır.

Dersin Öğrenme Çıktıları

Dersin sonunda öğrenciler, önermeler ve yüklem mantığı kullanarak matematiksel ifadeleri formüle edip analiz edebilecek; niceleyicileri ve mantıksal bağlaçları doğru şekilde kullanabilecek; doğrudan, karşıt ters, çelişki ve tümevarım argümanları oluşturabilecek; kümeler üzerinde standart işlemleri gerçekleştirebilecek ve gerekçelendirebilecek; denklik ilişkileri ve diğer temel ilişki türleriyle çalışabilecek; fonksiyonları birebirlik, örtenlik, bire bir örtenlik, bileşim ve ters fonksiyonlar açısından analiz edebilecek; ZFC aksiyomlarının altında yatan temel prensipleri açıklayabilecek; ve sonlu ve sonsuz kümelerin eleman sayılarını birebir, örten, bire bir örten fonksiyonlar ve Cantor'un çapraz argümanını kullanarak karşılaştırabileceklerdir.

Öğretim Yöntemleri

Bu ders, düzenli problem çözme ve ispat yazma alıştırmalarıyla birlikte ders anlatımlarını bir araya getirir. Yeni kavramlar, kesin tanımlar ve temel örnekler aracılığıyla tanıtılacak, ardından matematiksel muhakemeyi geliştirmek için tasarlanmış giderek daha zorlu argümanlar sunulacaktır. Mantıksal gösterim, niceleyiciler, tanımlar ve ispat tekniklerinin doğru kullanımına önem verilecektir. Cantor, ZFC ve kardinaliteye ilişkin sonraki konular, temel materyali daha geniş temel bağlamına yerleştirecektir. Bu becerileri pekiştirmek için sınavlar ve testler kullanılacaktır.

Kaynaklar

-Mathematical Proofs: A Transition to Advanced Mathematics
Gary Chartrand, Albert D. Polimeni, Ping Zhang

-Mathématiques 1ère année, Cours et exercices,
Deschamps et Warusfel

- Matematiğe Giris¸ I-II, Ali Nesin, NMKY

- Math en Ligne de Bernard Ycart: https://ljk.imag.fr/membres/Bernard.Yc art/mel/

-Sezgisel Kümeler Kuramı, Ali Nesin, NMKY

Konu Başlıkları

Teori Konu Başlıkları
Hafta	Konu Başlıkları
1	Mantığa giriş
2	İspat Yöntemleri
3	Mantıksal işleçler, niceleyiciler
4	Kümeler
5	Kümelerde işlemler
6	Denklik bağıntıları
7	Fonksiyonlar
8	Arasınav
9	Tümevarım
10	Cantor, Russell ve ZFC
11	Seçme Aksiyomu
12	Kardinaliteleri
13	Kardinaliteler
14	Tekrar

Değerlendirme Sistemi

Başarı Notuna Etki Oranları
Etkinlikler	Sayı	Katkı Payı
Yarıyıl içi çalışmaların başarı notuna katkısı	5	60
Yarıyıl sonu çalışmaların başarı notuna katkısı	1	40
Toplam	6	100

Yarıyıl İçi Çalışmaları
Etkinlikler	Sayı	Katkı Payı
Ödevler	0	0
Sunum	0	0
Arasınavlar (Hazırlık Süresi Dahil)	1	30
Proje	0	0
Laboratuar	0	0
Diğer Uygulamalar	0	0
Kısa Sınavlar	4	30
Dönem Ödevi / Projesi	0	0
Portfolyo Çalışmaları	0	0
Raporlar	0	0
Öğrenme Günlükleri	0	0
Bitirme Tezi/Projesi	0	0
Seminer	0	0
Diğer	0	0
Bütünleme	0	0
Toplam	5	60

Yeterlilik İlişkisi

Numara	Program Yeterlilikleri	Puan
Numara	Program Yeterlilikleri	1	2	3	4	5
1	Çıkarım yaparak muhakeme yapmanın ilkelerini anlar; ürettiği ya da karşılaştığı matematiksel ifadenin doğruluğunu ve uygunluğunu sistematik şekilde sorgulayabilir;				X
2	Temel matematik netice ve kavramlarını doğru şekilde bilir ve kullanır;					X
3	Sık kullanılan hesap tekniklerine ve algoritmalara hakimdir; bunları hayata geçirmek için iyi bir hesap becerisine sahiptir; bir problemin çözümü için bildiği araçlar arasından ilgili aleti tespit edip kullanabilir ve bu aletlere sahip olup olmadığını muhakeme edebilir;			X
4	Matematiksel fikirlerini yapılandırarak hem yazılı hem de sözlü ifade edebilir;				X
5	Bildiği matematiksel kavram ve neticeler arasındaki bağlantıları idrak eder, matematik nesnelerinin temsil biçimlerinin (şekiller, formüller, ifadeler, tahminler, örnek kümeleri , ...) birinden diğerine geçiş yapabilir;				X
6	Rehber gözetiminde özerk bir öğrenme tecrübesi geçirmiş ve karmaşık bir problemin çözümünün anlaşılması için stratejiler geliştirmiştir;
7	Bilgisayar biliminin teori ve uygulamaları hakkında, bir programlama dili öğrenmeye devam etmeye yetecek temellere sahiptir;
8	Matematik modellerinin uygunluğunu ve matematik aletlerinin doğa bilimlerinde ve iş dünyasında kullanımını sorgulamıştır; matematik kavramlarının tarihi evriminin farkındadır;
9	Bir akademik serbestlik atmosferi içinde matematik içi veya dışı bir konuya adım atma fırsatına sahip olmuştur, eğitimde yolunu kendi başına çizmeyi ve sorumluluk almayı öğrenmiştir;		X
10	Yabancı bir ülkede okumak ve çalışmaya yetecek seviyede fransızcaya ve başka bir yabancı dile hakimdir.			X

AKTS - İş Yükü Tablosu

Etkinlikler	Sayı	Süre	Toplam İş Yükü
Ders Süresi	14	5	70
Sınıf Dışı Çalışma Süresi	14	2	28
Ödevler	0	0	0
Sunum	0	0	0
Arasınavlar (Hazırlık Süresi Dahil)	1	10	10
Proje	0	0	0
Laboratuar	0	0	0
Diğer Uygulamalar	0	0	0
Yarıyıl Sonu Sınavı (Hazırlık Süresi Dahil)	1	15	15
Kısa Sınavlar	5	15	75
Dönem Ödevi / Projesi	0	0	0
Portfolyo Çalışmaları	0	0	0
Raporlar	0	0	0
Öğrenme Günlükleri	0	0	0
Bitirme Tezi/Projesi	0	0	0
Seminer	0	0	0
Diğer	0	0	0
Bütünleme	0	0	0
Ts Yıl Sonu	0	0	0
Hazırlık Yıl Sonu	0	0	0
Hazırlık Bütünleme	0	0	0
Toplam İş Yükü			198
Toplam İş Yükü / 25			7.92
Dersin AKTS Kredisi			8