Fondements de Mathématiques 

Contenus

Objectif du Cours

Ce cours initie les étudiants au langage, aux méthodes et aux structures fondamentales des mathématiques modernes. Il aborde la logique propositionnelle et des prédicats, les quantificateurs, les méthodes de démonstration, les ensembles, les relations, les fonctions et la cardinalité. Un autre objectif est de familiariser les étudiants avec la théorie axiomatique des ensembles, en particulier les axiomes de Zermelo-Fraenkel et l'axiome du choix (ZFC), et d'expliquer l'importance des travaux de Cantor dans la compréhension moderne des ensembles infinis.

Contenu du Cours

Ce cours offre une introduction au raisonnement mathématique et aux fondements des mathématiques. Il débute par la logique propositionnelle, les prédicats et les quantificateurs, puis aborde les méthodes de démonstration classiques. Le cours développe ensuite la théorie élémentaire des ensembles, les opérations ensemblistes, les relations et les fonctions. La dernière partie présente la théorie de Cantor des ensembles infinis, le cadre axiomatique de ZFC et la comparaison des cardinalités finies et infinies. Tout au long du cours, des définitions formelles et des démonstrations élémentaires sont utilisées pour développer le langage et les habitudes d'une argumentation mathématique rigoureuse.

Acquis d'Apprentissage du Cours

À la fin du cours, les étudiants seront capables de formuler et d'analyser des énoncés mathématiques en utilisant la logique propositionnelle et la logique des prédicats ; d'utiliser correctement les quantificateurs et les connecteurs logiques ; de construire des arguments directs, contraposés, par contradiction et par induction ; d'effectuer et de justifier des opérations standard sur les ensembles ; de travailler avec des relations d'équivalence et d'autres types de relations de base ; d'analyser des fonctions en termes d'injectivité, de surjectivité, de bijectivité, de composition et d'inverses ; d'expliquer les principes de base sous-jacents aux axiomes ZFC ; et de comparer les cardinalités des ensembles finis et infinis en utilisant les injections, les surjections, les bijections et l'argument diagonal de Cantor.

Méthodes d'Enseignement

Ce cours combine des exposés avec des exercices réguliers de résolution de problèmes et de rédaction de démonstrations. Les nouveaux concepts seront introduits par des définitions précises et des exemples élémentaires, suivis d'arguments de plus en plus complexes visant à développer le raisonnement mathématique. Une attention particulière sera portée à l'utilisation correcte de la notation logique, des quantificateurs, des définitions et des techniques de démonstration. Les thèmes abordés ultérieurement, tels que Cantor, ZFC et la cardinalité, permettront de replacer les notions élémentaires dans leur contexte fondamental. Des quizzes et des examens serviront à consolider ces compétences.

Ressources

-Mathematical Proofs: A Transition to Advanced Mathematics
Gary Chartrand, Albert D. Polimeni, Ping Zhang

-Mathématiques 1ère année, Cours et exercices,
Deschamps et Warusfel

- Matematiğe Giris¸ I-II, Ali Nesin, NMKY

- Math en Ligne de Bernard Ycart: https://ljk.imag.fr/membres/Bernard.Yc art/mel/

-Sezgisel Kümeler Kuramı, Ali Nesin, NMKY

Intitulés des Sujets

Système d'évalution

Evalution de la Compétence

Tableau de la Charge de Travail