Contenus

Objectif du Cours

Comprendre les concepts algébriques fondamentaux et savoir les employer dans la pratique mathématique professionnelle.

Contenu du Cours

Le cours comporte deux parties. La première construit le vocabulaire général de l'algèbre : structures définies par leurs lois, quotients et propriétés universelles, ce qui passe de A à A[X], actions de groupes, modules, produit tensoriel. La seconde traite des extensions de corps et de la théorie de Galois : clôture algébrique, séparabilité, correspondance de Galois, corps finis et cyclotomie, résolubilité par radicaux. Un résultat relie les deux parties : le théorème de la base de Hilbert, démontré pour les anneaux, est ce dont le Nullstellensatz a besoin. Les exercices font partie du cours et servent aux résultats ultérieurs.

Acquis d'Apprentissage du Cours

1. Structures algébriques et propriétés universelles : abstraire et analyser les systèmes algébriques (groupes, anneaux, modules, algèbres) à travers les morphismes, les quotients et les propriétés universelles. 2. Symétrie, actions et invariants : appliquer les actions de groupes et les invariants pour caractériser les symétries internes des objets mathématiques et en établir des classifications structurelles. 3. Théorie des modules et algèbre multilinéaire : unifier les structures linéaires dans le cadre des modules sur les anneaux principaux ; maîtriser les changements de scalaires et de base au moyen du produit tensoriel. 4. Extensions de corps et dualité de Galois : relier les extensions de corps et les racines de polynômes aux groupes d'automorphismes via la correspondance de Galois, et contrôler ainsi la résolubilité algébrique.

Méthodes d'Enseignement

cours interactif et feuilles d'exercices

Ressources

Serge Lang, Algebra ; gitlab.com/onayg/mat504

Intitulés des Sujets

Système d'évalution

Evalution de la Compétence

Tableau de la Charge de Travail