İleri Cebir
gonay@gsu.edu.tr
İçerik
Dersin Amacı
Temel cebirsel kavramların anlaşılması ve bu kavramların profesyonel matematik içerisinde kullanılabilmesi.
Dersin İçeriği
Ders iki bölümden oluşur. Birincisi cebirin genel sözlüğünü kurar: işlemleriyle tanımlanan yapılar, evrensel özellikleriyle bölümler, A'dan A[X]'e neyin geçtiği, grup etkileri, modüller, tensör çarpımı. İkincisi cisim genişlemelerini ve Galois teorisini işler: cebirsel kapanış, ayrılabilirlik, Galois karşılıklığı, sonlu cisimler ve siklotomi, radikallerle çözülebilirlik. Bölümleri bir sonuç birbirine bağlar: halkalar için kanıtlanan Hilbert taban teoremi Nullstellensatz'ın ihtiyaç duyduğu sonuçtur. Alıştırmalar dersin bir parçasıdır ve sonraki sonuçlarda kullanılır.
Dersin Öğrenme Çıktıları
1. Cebirsel Yapılar ve Evrensel Özellikler: Cebirsel sistemleri (gruplar, halkalar, modüller,
cebirler) morfizmler, bölümleme ve evrensel özellikler merceğinden soyutlayıp analiz edebilme.
2. Simetri, Eylemler ve Değişmezler: Matematiksel nesnelerin iç simetrilerini karakterize etmek
ve yapısal sınıflandırmalar yapmak için grup eylemlerini ve değişmezleri uygulayabilme.
3. Modül Teorisi ve Çok-Doğrusal Cebir: Lineer yapıları temel ideal bölgeleri üzerindeki
modüller çatısı altında birleştirebilme; skaler ve taban değişimlerini tensör çarpımıyla
yönetebilme.
4. Cisim Genişlemeleri ve Galois İkiliği: Polinom kökleri ile cisim genişlemelerini Galois
uyuşması üzerinden otomorfizm gruplarıyla ilişkilendirip cebirsel çözülebilirliği
denetleyebilme.
Öğretim Yöntemleri
karşılıklı ders ve egzersiz kağıtları
Kaynaklar
Serge Lang Algebra / https://gitlab.com/onayg/mat504
Konu Başlıkları
| Hafta | Konu Başlıkları |
|---|---|
| 1 | Cebirsel yapılar; bölümler; kongrüanslar. |
| 2 | Noether halkaları ve Hilbert taban teoremi; faktöriyel halkalar ve Gauss teoremi. |
| 3 | Grup eylemleri; yörünge-sabitleyici; sınıf denklemi; Cauchy; Burnside. |
| 4 | Simetrik grup; devirler; işaret; n ≥ 5 için A_n basitliği. |
| 5 | Sylow teoremleri; küçük mertebeden gruplar. |
| 6 | Modüller; Z-modüller; K[T]-modüller; serbest modüller. |
| 7 | Burulmalı K[T]-modülleri; Jordan ve rasyonel formlar; Cayley-Hamilton. |
| 8 | Tensör çarpımı; evrensel özellik; taban değişimi. |
| 9 | Cisim genişlemeleri; minimal polinom; Zariski lemması; Nullstellensatz. |
| 10 | Parçalanış cisimleri; cebirsel kapanış; gömmelerin genişletilmesi. |
| 11 | Ayrılabilirlik; indirgenmiş taban değişimi; mükemmel cisimler; karakteristik p. |
| 12 | Normal genişlemeler; ilkel eleman; Galois karşılıklığı. |
| 13 | Sonlu cisimler; siklotomik polinomlar; Galois grubu (Z/nZ)^×. |
| 14 | Çözülebilir gruplar; radikal genişlemeler; beşinci derecenin çözülemezliği. |
Değerlendirme Sistemi
| Etkinlikler | Sayı | Katkı Payı |
|---|---|---|
| Yarıyıl içi çalışmaların başarı notuna katkısı | 1 | 50 |
| Yarıyıl sonu çalışmaların başarı notuna katkısı | 1 | 50 |
| Toplam | 2 | 100 |
| Etkinlikler | Sayı | Katkı Payı |
|---|---|---|
| Ödevler | 1 | 50 |
| Sunum | 0 | 0 |
| Arasınavlar (Hazırlık Süresi Dahil) | 0 | 0 |
| Proje | 0 | 0 |
| Laboratuar | 0 | 0 |
| Diğer Uygulamalar | 0 | 0 |
| Kısa Sınavlar | 0 | 0 |
| Dönem Ödevi / Projesi | 0 | 0 |
| Portfolyo Çalışmaları | 0 | 0 |
| Raporlar | 0 | 0 |
| Öğrenme Günlükleri | 0 | 0 |
| Bitirme Tezi/Projesi | 0 | 0 |
| Seminer | 0 | 0 |
| Diğer | 0 | 0 |
| Bütünleme | 0 | 0 |
| Toplam | 1 | 50 |
Yeterlilik İlişkisi
| Numara | Program Yeterlilikleri | Puan | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | ||
| 1 | Yaptığı araştırmalarla matematik eğitimindeki bilgi birikimine katkıda bulunur. | X | ||||
| 2 | Matematik eğitimi alanında yeni bir bilimsel yöntem geliştirir ya da bilinen bir yöntemi farklı bir eğitim probleminin çözümü için uygulayabilir. | |||||
| 3 | Lisans yeterliliklerine dayalı olarak alanındaki güncel ve ileri düzeydeki bilgileri özgün düşünce ve/veya araştırma ile uzmanlık düzeyinde geliştirebilme, derinleştirebilme ve alanına yenilik getirecek özgün tanımlara ulaşabilme. | X | ||||
| 4 | Alanının ilişkili olduğu disiplinler arası etkileşimi kavrayabilme; yeni ve karmaşık fikirleri analiz, sentez ve değerlendirmede uzmanlık gerektiren bilgileri kullanarak özgün sonuçlara ulaşabilme. | X | ||||
| 5 | Alanındaki yeni bilgileri sistematik bir yaklaşımla değerlendirebilme ve kullanabilme. | X | ||||
| 6 | Alanına yenilik getiren, yeni bir düşünce, yöntem, tasarım ve/veya uygulamayı farklı bir alana uygulayabilme, özgün bir konuyu araştırabilme, kavrayabilme, tasarlayabilme uyarlayabilme ve uygulayabilme. | X | ||||
| 7 | Matematik eğitimi araştırmalarında bireysel ve/veya bir takım üyesi olarak çalışmalar yürütür. | X | ||||
| 8 | Alanına yenilik getiren, yeni bir düşünce, yöntem, tasarım, ve/veya uygulama geliştiren ya da bilinen bir düşünce, yöntem, tasarım ve/veya uygulamayı farklı bir alana uygulayan özgün bir çalışmayı bağımsız olarak gerçekleştirerek alanındaki ilerlemeye katkıda bulunabilme. | X | ||||
| 9 | Özgün ve disiplinlerarası sorunların çözümlenmesini gerektiren ortamlarda liderlik yapabilme. | X | ||||
| 10 | Öğrenme ve öğretme sürecini zenginleştirebilmek için uygun öğrenme ortamları tasarlayabilir. Öğrenme ve öğretme sürecinde kullanılabilecek farklı öğretim yöntem ve tekniklerini bilir. | X | ||||
| 11 | Yaratıcı ve eleştirel düşünme, sorun çözme ve karar verme gibi üst düzey zihinsel süreçleri kullanarak alanı ile ilgili yeni düşünce ve yöntemler geliştirebilme. | X | ||||
| 12 | Sosyal ilişkileri ve bu ilişkileri yönlendiren normları eleştirel bir bakış açısıyla inceleyebilme, geliştirebilme ve gerektiğinde değiştirmeye yönelik eylemleri yönetebilme. | X | ||||
| 13 | Uzman kişiler ile alanındaki konuların tartışılmasında özgün görüşlerini savunabilme ve alanındaki yetkinliğini gösteren etkili bir iletişim kurabilme. | X | ||||
| 14 | Bir yabancı dili en az Avrupa Dil Portföyü B2 genel düzeyinde kullanarak ileri düzeyde yazılı, sözlü ve görsel iletişim kurabilme ve tartışabilme. | X | ||||
| 15 | Alanındaki bilimsel, teknolojik, sosyal ve kültürel ilerlemeleri tanıtarak, yaşadığı toplumun bilgi toplumu olma ve bunu sürdürebilme sürecine katkıda bulunabilme. | X | ||||
| 16 | Alanı ile ilgili karşılaşılan sorunların çözümünde stratejik karar verme süreçlerini kullanarak işlevsel etkileşim kurabilme. | X | ||||
| 17 | Alanı ile ilgili konularda karşılaşılan toplumsal, bilimsel, kültürel ve etik sorunların çözümüne katkıda bulunabilme ve bu değerlerin gelişimini destekleyebilme. | X | ||||
AKTS - İş Yükü Tablosu
| Etkinlikler | Sayı | Süre | Toplam İş Yükü |
|---|---|---|---|
| Ders Süresi | 14 | 3 | 42 |
| Sınıf Dışı Çalışma Süresi | 0 | 0 | 0 |
| Ödevler | 7 | 4 | 28 |
| Sunum | 0 | 0 | 0 |
| Arasınavlar (Hazırlık Süresi Dahil) | 2 | 35 | 70 |
| Proje | 0 | 0 | 0 |
| Laboratuar | 0 | 0 | 0 |
| Diğer Uygulamalar | 0 | 0 | 0 |
| Yarıyıl Sonu Sınavı (Hazırlık Süresi Dahil) | 0 | 0 | 0 |
| Kısa Sınavlar | 1 | 40 | 40 |
| Dönem Ödevi / Projesi | 0 | 0 | 0 |
| Portfolyo Çalışmaları | 0 | 0 | 0 |
| Raporlar | 0 | 0 | 0 |
| Öğrenme Günlükleri | 0 | 0 | 0 |
| Bitirme Tezi/Projesi | 0 | 0 | 0 |
| Seminer | 0 | 0 | 0 |
| Diğer | 0 | 0 | 0 |
| Bütünleme | 0 | 0 | 0 |
| Ts Yıl Sonu | 0 | 0 | 0 |
| Hazırlık Yıl Sonu | 0 | 0 | 0 |
| Hazırlık Bütünleme | 0 | 0 | 0 |
| Toplam İş Yükü | 180 | ||
| Toplam İş Yükü / 25 | 7.20 | ||
| Dersin AKTS Kredisi | 7 | ||