Diferansiyellenebilir Manifoldlar
serapgurer@gmail.com
İçerik
Dersin Amacı
-Bu dersin amacı, diferansiyellenebilir manifoldların temel kavramlarını tanıtmak ve çok değişkenli analiz araçlarının geometrik ortamlara nasıl taşındığını öğretmektir. Öğrencilerin manifoldlar, teğet uzaylar, diferansiyel formlar ve integrasyon arasındaki ilişkileri kavramaları; Stokes teoremini kullanarak geometrik ve analitik problemleri yorumlayabilmeleri hedeflenmektedir.
Dersin İçeriği
-Diferansiyellenebilir manifoldlar; kartlar, atlaslar ve düzgün dönüşümler; altmanifoldlar; teğet uzaylar ve teğet dönüşüm; ters fonksiyon, sabit rütbe ve düzenli değer teoremleri; submersiyonlar, immersiyonlar ve gömmeler; teğet demet ve vektör alanları; integral eğriler ve akışlar; kotanjant uzaylar ve diferansiyel formlar; dış cebir, dış türev ve çekme dönüşümü; yönelim, manifoldlar üzerinde integrasyon ve Stokes teoremi; de Rham kohomolojisine giriş; eğriler ve yüzeyler üzerinde temel geometrik uygulamalar.
Dersin Öğrenme Çıktıları
Dersi başarıyla tamamlayan öğrenciler:
Diferansiyellenebilir manifold, kart ve atlas kavramlarını açıklar.
Teğet uzayları ve diferansiyel dönüşümü hesaplar.
Altmanifold, immersiyon, submersiyon ve gömme kavramlarını uygular.
Vektör alanları ve diferansiyel formlarla işlem yapar.
Dış türev, yönelim ve manifoldlar üzerinde integrasyon kavramlarını kullanır.
Stokes teoremini temel geometrik problemlere uygular.
Öğretim Yöntemleri
Ders; anlatım, tahta üzerinde ispat ve örnek çözümü, yönlendirilmiş problem çözme, haftalık alıştırmalar ve sınıf içi tartışmalar yoluyla yürütülür.
Konu Başlıkları
| Hafta | Konu Başlıkları |
|---|---|
| 1 | R^n ’de türev, diferansiyellenebilirlik, ters fonksiyon ve sabit rütbe teoremlerinin hatırlatılması |
| 2 | Diferansiyellenebilir manifoldlar: kartlar, atlaslar, koordinat değişimleri, boyut; temel örnekler |
| 3 | Manifoldlar üzerinde düzgün fonksiyonlar ve düzgün dönüşümler; altmanifoldlar ve düzgün denklemlerle tanımlanan örnekler |
| 4 | Teğet vektör kavramı: eğrilerle tanım, türevler/derivasyonlar yoluyla tanım; teğet uzay |
| 5 | Diferansiyel (teğet) dönüşüm; zincir kuralı; yerel difeomorfizm ve ters fonksiyon teoreminin manifold versiyonu |
| 6 | Submersiyonlar, immersiyonlar ve gömmeler; sabit rütbe teoremi; düzenli değer teoremi ve örnekler |
| 7 | Teğet demet ve vektör alanları; integral eğriler; akış kavramına giriş |
| 8 | Arasınav |
| 9 | Kotanjant uzay ve diferansiyel 1-formlar; dış cebir, k-formlar ve çekme (pullback) |
| 10 | Dış türev d; kapalı ve tam formlar; koordinat hesapları; temel örnekler |
| 11 | Yönelim; hacim formları; sınır içeren manifoldlar ve integrasyon kavramı |
| 12 | Stokes teoremi; Green ve klasik integral teoremleriyle ilişki; uygulamalar |
| 13 | Diferansiyel formlar ve topoloji: de Rham kohomolojisine giriş |
| 14 | ğriler ve yüzeyler için uygulamalar: birinci temel form, Gauss dönüşümü, eğrilik; genel tekrar ve final hazırlığı |
Değerlendirme Sistemi
| Etkinlikler | Sayı | Katkı Payı |
|---|---|---|
| Yarıyıl içi çalışmaların başarı notuna katkısı | 2 | 50 |
| Yarıyıl sonu çalışmaların başarı notuna katkısı | 1 | 50 |
| Toplam | 3 | 100 |
| Etkinlikler | Sayı | Katkı Payı |
|---|---|---|
| Ödevler | 7 | 7 |
| Sunum | 1 | 10 |
| Arasınavlar (Hazırlık Süresi Dahil) | 1 | 10 |
| Proje | 0 | 0 |
| Laboratuar | 0 | 0 |
| Diğer Uygulamalar | 0 | 0 |
| Kısa Sınavlar | 0 | 0 |
| Dönem Ödevi / Projesi | 0 | 0 |
| Portfolyo Çalışmaları | 0 | 0 |
| Raporlar | 0 | 0 |
| Öğrenme Günlükleri | 0 | 0 |
| Bitirme Tezi/Projesi | 0 | 0 |
| Seminer | 0 | 0 |
| Diğer | 0 | 0 |
| Bütünleme | 0 | 0 |
| Toplam | 9 | 27 |
Yeterlilik İlişkisi
| Numara | Program Yeterlilikleri | Puan | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | ||
| 1 | Yaptığı araştırmalarla matematik eğitimindeki bilgi birikimine katkıda bulunur. | X | ||||
| 2 | Matematik eğitimi alanında yeni bir bilimsel yöntem geliştirir ya da bilinen bir yöntemi farklı bir eğitim probleminin çözümü için uygulayabilir. | X | ||||
| 3 | Lisans yeterliliklerine dayalı olarak alanındaki güncel ve ileri düzeydeki bilgileri özgün düşünce ve/veya araştırma ile uzmanlık düzeyinde geliştirebilme, derinleştirebilme ve alanına yenilik getirecek özgün tanımlara ulaşabilme. | X | ||||
| 4 | Alanının ilişkili olduğu disiplinler arası etkileşimi kavrayabilme; yeni ve karmaşık fikirleri analiz, sentez ve değerlendirmede uzmanlık gerektiren bilgileri kullanarak özgün sonuçlara ulaşabilme. | X | ||||
| 5 | Alanındaki yeni bilgileri sistematik bir yaklaşımla değerlendirebilme ve kullanabilme. | X | ||||
| 6 | Alanına yenilik getiren, yeni bir düşünce, yöntem, tasarım ve/veya uygulamayı farklı bir alana uygulayabilme, özgün bir konuyu araştırabilme, kavrayabilme, tasarlayabilme uyarlayabilme ve uygulayabilme. | X | ||||
| 7 | Matematik eğitimi araştırmalarında bireysel ve/veya bir takım üyesi olarak çalışmalar yürütür. | |||||
| 8 | Alanına yenilik getiren, yeni bir düşünce, yöntem, tasarım, ve/veya uygulama geliştiren ya da bilinen bir düşünce, yöntem, tasarım ve/veya uygulamayı farklı bir alana uygulayan özgün bir çalışmayı bağımsız olarak gerçekleştirerek alanındaki ilerlemeye katkıda bulunabilme. | X | ||||
| 9 | Özgün ve disiplinlerarası sorunların çözümlenmesini gerektiren ortamlarda liderlik yapabilme. | |||||
| 10 | Öğrenme ve öğretme sürecini zenginleştirebilmek için uygun öğrenme ortamları tasarlayabilir. Öğrenme ve öğretme sürecinde kullanılabilecek farklı öğretim yöntem ve tekniklerini bilir. | X | ||||
| 11 | Yaratıcı ve eleştirel düşünme, sorun çözme ve karar verme gibi üst düzey zihinsel süreçleri kullanarak alanı ile ilgili yeni düşünce ve yöntemler geliştirebilme. | X | ||||
| 12 | Sosyal ilişkileri ve bu ilişkileri yönlendiren normları eleştirel bir bakış açısıyla inceleyebilme, geliştirebilme ve gerektiğinde değiştirmeye yönelik eylemleri yönetebilme. | |||||
| 13 | Uzman kişiler ile alanındaki konuların tartışılmasında özgün görüşlerini savunabilme ve alanındaki yetkinliğini gösteren etkili bir iletişim kurabilme. | X | ||||
| 14 | Bir yabancı dili en az Avrupa Dil Portföyü B2 genel düzeyinde kullanarak ileri düzeyde yazılı, sözlü ve görsel iletişim kurabilme ve tartışabilme. | X | ||||
| 15 | Alanındaki bilimsel, teknolojik, sosyal ve kültürel ilerlemeleri tanıtarak, yaşadığı toplumun bilgi toplumu olma ve bunu sürdürebilme sürecine katkıda bulunabilme. | |||||
| 16 | Alanı ile ilgili karşılaşılan sorunların çözümünde stratejik karar verme süreçlerini kullanarak işlevsel etkileşim kurabilme. | X | ||||
| 17 | Alanı ile ilgili konularda karşılaşılan toplumsal, bilimsel, kültürel ve etik sorunların çözümüne katkıda bulunabilme ve bu değerlerin gelişimini destekleyebilme. | |||||
AKTS - İş Yükü Tablosu
| Etkinlikler | Sayı | Süre | Toplam İş Yükü |
|---|---|---|---|
| Ders Süresi | 14 | 3 | 42 |
| Sınıf Dışı Çalışma Süresi | 10 | 3 | 30 |
| Ödevler | 7 | 5 | 35 |
| Sunum | 1 | 10 | 10 |
| Arasınavlar (Hazırlık Süresi Dahil) | 1 | 12 | 12 |
| Proje | 0 | 0 | 0 |
| Laboratuar | 0 | 0 | 0 |
| Diğer Uygulamalar | 0 | 0 | 0 |
| Yarıyıl Sonu Sınavı (Hazırlık Süresi Dahil) | 1 | 10 | 10 |
| Kısa Sınavlar | 0 | 0 | 0 |
| Dönem Ödevi / Projesi | 0 | 0 | 0 |
| Portfolyo Çalışmaları | 0 | 0 | 0 |
| Raporlar | 0 | 0 | 0 |
| Öğrenme Günlükleri | 0 | 0 | 0 |
| Bitirme Tezi/Projesi | 0 | 0 | 0 |
| Seminer | 0 | 0 | 0 |
| Diğer | 0 | 0 | 0 |
| Bütünleme | 0 | 0 | 0 |
| Ts Yıl Sonu | 0 | 0 | 0 |
| Hazırlık Yıl Sonu | 0 | 0 | 0 |
| Hazırlık Bütünleme | 0 | 0 | 0 |
| Toplam İş Yükü | 139 | ||
| Toplam İş Yükü / 25 | 5.56 | ||
| Dersin AKTS Kredisi | 6 | ||