Theorie des fonctions complexes
muhammed.uludag@gmail.com
Contenus
Objectif du Cours
L'objectif du cours est d'acquérir les bases de l'analyse complexe. Il s'agit aussi d'observer l'articulation et de revoir les résultats d'analyse vus dans les cours précédents (séries entières, fonctions de plusieurs variables, intégration, ...) mis en oeuvre en analyse complexe.
Contenu du Cours
Séries entières, fonctions analytiques (principe des zéros isolés, principe du maximum), fonctions holomorphes (identités de Cauchy-Riemann, intégrale complexe, théorème de Cauchy), fonctions méromorphes, théorème des résidus.
Acquis d'Apprentissage du Cours
1) maîtriser la théorie des séries entières (rayon de convergence, théorèmes d'interversion, ...)
2) comprendre et savoir appliquer la théorie des fonctions analytiques (principe des zéros isolés, principe du maximum,...)
3) comprendre l'équivalence holomorphie/analyticité (identités de Cauchy-Riemann, théorème de Cauchy,...)
4) comprendre les premiers résultats sur l'étude des singularités
5) comprendre et savoir appliquer les techniques du calcul de résidus
Méthodes d'Enseignement
Cours-TDs intégré
Ressources
"Analyse complexe" par Michèle Audin (notes de cours de l'Université de Strasbourg)
Intitulés des Sujets
| Semaine | Intitulés des Sujets |
|---|---|
| 1 | Rappels: nombres complexes, connexité, suites et séries de fonctions, séries entières |
| 2 | Séries entières (suite) |
| 3 | Séries entières usuelles |
| 4 | Fonctions analytiques: principe des zéroes isolés et applications |
| 5 | Fonctions analytiques: principe du maximum et applications |
| 6 | Fonctions holomorphes: rappel de calcul différentiel et premières propriétés |
| 7 | Fonctions holomorphes: identité de Cauchy-Riemann, intégrale de chemin |
| 8 | Primitive complexe, le théorème de Cauchy |
| 9 | Partiel 1 |
| 10 | Fonctions méromorphes, séries de Laurent |
| 11 | Le théorème des résidus |
| 12 | Le théorème des résidus (suite) |
| 13 | Partiel 2 |
| 14 | Exemples de constructions de fonctions complexes |
Système d'évalution
| Activités | Numéro | Contribution |
|---|---|---|
| Contribution du contrôle continu à la note finale | 40 | 40 |
| Contribution de l'examen final à la note finale | 60 | 60 |
| Total | 100 | 100 |
| Activités | Numéro | Contribution |
|---|---|---|
| Devoir | 3 | 5 |
| Présentation | 1 | 0 |
| Examen partiel (temps de préparation inclu) | 0 | 20 |
| Projet | 0 | 0 |
| Travail de laboratoire | 0 | 0 |
| Autres travaux pratiques | 0 | 5 |
| Quiz | 0 | 10 |
| Devoir/projet de session | 0 | 0 |
| Portefeuille | 0 | 0 |
| Rapport | 0 | 0 |
| Journal d'apprentissage | 0 | 0 |
| Mémoire/projet de fin d'études | 0 | 0 |
| Séminaire | 0 | 0 |
| Autre | 0 | 0 |
| Total | 4 | 40 |
Evalution de la Compétence
| No | Objectifs Pédagogiques du Programme | Contribiton | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | ||
| 1 | comprend les principes de la méthode hypothético-déductive; s'est interrogé systématiquement sur la pertinence et la justesse des énoncés mathématique qu'il a rencontré ou produit; | X | ||||
| 2 | sait énoncer et utiliser judicieusement les concepts et les résultats des mathématiques de base; | X | ||||
| 3 | maîtrise les techniques de calcul et les algorithmes courants; possède une bonne intelligence de calcul pour les mettre en œuvre; est capable d'identifier les outils pertinents, parmi ceux qu'il connaît, pour la résolution d'un problème, et est capable de juger s’il ne possède pas ces outils; | X | ||||
| 4 | est capable d'exprimer de manière organisée, tant à l'écrit qu'à l'oral, ses idées mathématiques; | X | ||||
| 5 | a réalisé les relations essentielles qui lient entre eux ces concepts et résultats; est capable de passer de l'un à l'autre de divers mode de représentation des objets mathématiques (dessins, formules, énoncés précis, heuristiques, collection d'exemples,...); | X | ||||
| 6 | a poursuivi, en autonomie, une stratégie d'apprentissage guidée; s'est engagé dans des stratégies de résolution d'un problème complexe; | X | ||||
| 7 | a les bases théoriques et pratiques suffisantes en informatique pour pouvoir poursuivre l'apprentissage d'un langage de programmation; | |||||
| 8 | s'est interrogé sur la pertinence de la modélisation mathématique et l'usage des outils mathématiques dans les sciences naturelles et dans le monde professionnel; a été sensibilisé à l'évolution historique des concepts mathématiques; | X | ||||
| 9 | a eu l'opportunité de choisir librement certains de ses cours (de mathématiques ou d'autres disciplines) et a, à l'occasion, appris à prendre ses responsabilités et à organiser son projet éducatif par lui-même; | |||||
| 10 | a une maîtrise de la langue française et d'une autre langue étrangère suffisante pour pouvoir poursuivre des études ou travailler à l'étranger. | X | ||||
Tableau de la Charge de Travail
| Activités | Nombre | Durée | Charge totale de Travail |
|---|---|---|---|
| Durée du cours | 96 | 96 | 9216 |
| Préparation pour le cours | 96 | 96 | 9216 |
| Devoir | 3 | 0 | 0 |
| Présentation | 1 | 3 | 3 |
| Examen partiel (temps de préparation inclu) | 1 | 3 | 3 |
| Examen final (temps de préparation inclu) | 1 | 12 | 12 |
| Quiz | 2 | 3 | 6 |
| Charge totale de Travail | 18456 | ||
| Charge totale de Travail / 25 | 738.24 | ||
| Crédits ECTS | 738 | ||