Théorie des variétés

Contenus

Objectif du Cours

Ce cours a pour objectif d’introduire les concepts et méthodes fondamentaux de la théorie des variétés différentiables. Les étudiants acquerront les connaissances de base relatives aux variétés, aux espaces tangents, aux applications lisses, aux champs de vecteurs, aux formes différentielles et à l’intégration sur les variétés, et les appliqueront à des problèmes élémentaires de géométrie différentielle.

Contenu du Cours

Rappels de calcul différentiel à plusieurs variables ; variétés différentiables, cartes, atlas et applications lisses ; exemples de variétés : sphères, tores, espaces projectifs et groupes de matrices ; espaces tangents et applications tangentes ; sous-variétés, immersions, submersions, plongements et théorème des valeurs régulières ; fibrés tangent et cotangent ; champs de vecteurs et courbes intégrales ; algèbre extérieure et formes différentielles ; image réciproque et différentielle extérieure ; orientation, variétés à bord et intégration des formes différentielles ; théorème de Stokes ; introduction à la cohomologie de De Rham ; applications aux courbes et aux surfaces.

Acquis d'Apprentissage du Cours

À l’issue du cours, l’étudiant sera capable de :

Définir les variétés différentiables, les cartes, les atlas et les applications lisses.
Calculer les espaces tangents et les applications tangentes.
Utiliser les notions de sous-variété, immersion, submersion et plongement.
Manipuler les champs de vecteurs et les formes différentielles.
Utiliser la différentielle extérieure, l’orientation et l’intégration sur les variétés.
Appliquer le théorème de Stokes à des problèmes géométriques élémentaires.

Méthodes d'Enseignement

Cours magistral, démonstrations et résolution d’exemples au tableau, résolution guidée de problèmes, exercices hebdomadaires et discussions en classe.

Intitulés des Sujets

Système d'évalution

Tableau de la Charge de Travail