Linear Algebra
mcperoueme@voila.fr
Content
Objective
Mathematical problems such as solving systems
linear differentials (which occur in many areas
physics such as mechanics or electronics) or analysis in
principal components in statistics use the diagonalization of
square matrices. Determine if a matrix is ??diagonalizable, and in
in this case, diagonalizing it is therefore the key to this course.
In this context, the objectives of this course are:
• Explain to students how the determinant of a matrix is
defined using permutations and their signature, in particular
in order to be able to define the characteristic polynomial.
• Teach students to determine the specific elements of a
matrix.
• Demonstrate to the students the conditions of diagonalization of a
matrix.
• Explain to the students how to use diagonalization to
solve linear systems.
Course Content
1. Symmetric group: decomposition into products and signature of a permutation
2. Determinants: definition, properties and calculation rules
3. Determinants: determinants of "small" dimensions, classical determinants
4. Diagonalization: Introduction and first examples
5. Classical determinant applications
6. Diagonalization: criterion of diagonalization (case of multiple eigenvalues)
7. Diagonalization: diagonalization of "small" dimension matrices
8. Partial Examination
9. Diagonalization: calculation of the nth powers of a diagonalizable matrix
10. Polynomials of matrices, canceling polynomials - Cayleigh Hamilton Theorem
11. Application to the calculation of the nth powers of a matrix (diagonalizable or not)
12. Application to linear recurrent sequences
13. Application to differential systems (diagonalizable case)
14. Practical studies
Course Learning Outcomes
The student who will take this course will develop the elements of competence following and will be able to:
1. Calculate the decomposition in cycles with disjoint supports and signing a permutation.
2. Calculate the determinant of a square matrix.
3. Determine the characteristic polynomial (and therefore, the eigenvalues) of a matrix.
4. Determine the eigenspaces of a matrix.
5. Illustrate on geometric examples (homothety, rotation, symmetry ...) the dimension and direction of the proper spaces.
6. Prove if a matrix is diagonalizable in R or in C.
7. Determine the diagonalized matrix as well as the associated matrix passage.
8. Solve linear systems (equations differential or recurrent sequences).
Teaching and Learning Methods
Lectures and supervised works/tutorials
References
1. Lectures notes ans worksheets
2. http://braise.univ-rennes1.fr/braise.cgi
3. http://www.unisciel.fr
Weekly Contents
| Week | Weekly Contents |
|---|---|
| 1 | The grup of permutations. |
| 2 | Decomposition into disjoint cycles, decomposition into transposition and signature of a permutation. |
| 3 | Determinant : definition and basic propoerties |
| 4 | Some methods to compute determinant |
| 5 | Some examples of classic determinants. |
| 6 | eigenvalues of a determinant and some geometric examples. |
| 7 | Characteristic polynomial, eigenvalues and eigenvectors |
| 8 | Diagonalizable matrixs |
| 9 | Midterm exam |
| 10 | The Cayley–Hamilton theorem |
| 11 | Different methods for computing the powers of a matrix. |
| 12 | Linear recurrence sequences of order 2 or 3. |
| 13 | Systems of homogeneous linear differential equations with constant coefficients. |
| 14 | Systems of nonhomogeneous linear differential equations with constant coefficients. |
Assessment System
| Activities | Number | Contribution |
|---|---|---|
| Contribution of in-term studies to overall grade | 1 | 40 |
| Contribution of final exam to overall grade | 1 | 60 |
| Total | 2 | 100 |
| Activities | Number | Contribution |
|---|---|---|
| Assignments | 0 | 0 |
| Presentation | 0 | 0 |
| Midterm Examinations (including preparation) | 1 | 40 |
| Project | 0 | 0 |
| Laboratory | 0 | 0 |
| Other Applications | 0 | 0 |
| Quiz | 0 | 0 |
| Term Paper/ Project | 0 | 0 |
| Portfolio Study | 0 | 0 |
| Reports | 0 | 0 |
| Learning Diary | 0 | 0 |
| Thesis/ Project | 0 | 0 |
| Seminar | 0 | 0 |
| Other | 0 | 0 |
| Make-up | 0 | 0 |
| Total | 1 | 40 |
Relation of Proficiency
| No | Program Learning Outcomes | Contribution | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | ||
| 1 | Matematik, fizik ve mühendislik bilimlerine özgü konularda yeterli bilgi birikimi; bu alanlardaki kuramsal ve uygulamalı bilgileri, mühendislik problemlerinin modellenmesi ve çözümünde kullanabilme becerisi. | X | ||||
| 2 | Karmaşık bilgisayar mühendisliği problemlerini saptama, tanımlama, formüle etme ve çözme becerisi; bu amaçla uygun analiz ve modelleme yöntemlerini seçme ve uygulama becerisi. | X | ||||
| 3 | Yazılımsal veya donanımsal karmaşık bir sistemi, süreci veya donanımı gerçekçi kısıtlar ve koşullar altında, belirli gereksinimleri karşılayacak şekilde tasarlama becerisi; bu amaçla modern tasarım yöntemlerini uygulama becerisi. | X | ||||
| 4 | Mühendislik uygulamalarında karşılaşılan karmaşık problemlerin analizi ve çözümü için gerekli olan modern teknik ve araçları geliştirme, seçme ve kullanma becerisi; bilişim teknolojilerini etkin bir şekilde kullanma becerisi. | X | ||||
| 5 | Analitik düşünce ile bir sistemi, sistem bileşenini ya da süreci analiz etme, modelleme, deney tasarlama ve yapma, veri toplama, çözüm algoritmaları üretebilme, uygulamaya alma ve geliştirme becerileri. | X | ||||
| 6 | Disiplin içi ve çok disiplinli takımlarda etkin biçimde çalışabilme becerisi; bireysel çalışma becerisi. | X | ||||
| 7 | Türkçe sözlü ve yazılı etkin iletişim kurma becerisi; en az iki yabancı dil bilgisi; etkin rapor yazma ve yazılı raporları anlama, yazılım ve donanım tasarımını, gerekirse teknik resim metotları kullanarak raporlayabilme, etkin sunum yapabilme becerisi. | X | ||||
| 8 | Bilgiye erişebilme ve bu amaçla kaynak araştırması yapabilme, veri tabanları ve diğer bilgi kaynaklarını kullanabilme becerisi | X | ||||
| 9 | Yaşam boyu öğrenmenin gerekliliği bilinci; kendini sürekli yenileme becerisi. | |||||
| 10 | Mesleki etik ilkelerine uygun davranma, mesleki sorumluluk bilinci; mühendislik uygulamalarında kullanılan standartlar hakkında bilgi. | |||||
| 11 | Proje yönetimi, risk yönetimi ve değişiklik yönetimi gibi, iş hayatındaki uygulamalar hakkında bilgi; girişimcilik, yenilikçilik hakkında farkındalık; sürdürülebilir kalkınma hakkında bilgi. | |||||
| 12 | Mühendislik uygulamalarının evrensel ve toplumsal boyutlarda sağlık, çevre ve güvenlik üzerindeki etkileri ve çağın mühendislik alanına yansıyan sorunları hakkında bilgi. | |||||
| 13 | Bilgisayar mühendisliği uygulamalarının hukuki ve etik boyutları konusunda farkındalık. | |||||
ECTS
| Activities | Number | Period | Total Workload |
|---|---|---|---|
| Class Hours | 14 | 4 | 56 |
| Working Hours out of Class | 14 | 2 | 28 |
| Assignments | 0 | 0 | 0 |
| Presentation | 0 | 0 | 0 |
| Midterm Examinations (including preparation) | 1 | 15 | 15 |
| Project | 0 | 0 | 0 |
| Laboratory | 0 | 0 | 0 |
| Other Applications | 0 | 0 | 0 |
| Final Examinations (including preparation) | 1 | 15 | 15 |
| Quiz | 0 | 0 | 0 |
| Term Paper/ Project | 0 | 0 | 0 |
| Portfolio Study | 0 | 0 | 0 |
| Reports | 0 | 0 | 0 |
| Learning Diary | 0 | 0 | 0 |
| Thesis/ Project | 0 | 0 | 0 |
| Seminar | 0 | 0 | 0 |
| Other | 0 | 0 | 0 |
| Make-up | 0 | 0 | 0 |
| Yıl Sonu | 0 | 0 | 0 |
| Hazırlık Yıl Sonu | 0 | 0 | 0 |
| Hazırlık Bütünleme | 0 | 0 | 0 |
| Total Workload | 114 | ||
| Total Workload / 25 | 4.56 | ||
| Credits ECTS | 5 | ||