Calcul Differentiel et Integral
sylvain.lavau@gmail.com
Contenus
Objectif du Cours
Le cours succède aux cours d'Analyses à Une Variable. On va travailler certains sous-ensembles de R^n qui nous mène à la géométrie différentielle et à l'analyse fonctionelle. On va essentiellement appliquer les méthodes du calcul différentiel à l'étude de fonctions à plusieurs variables.
Contenu du Cours
Theoreme d'inversion local, Theoreme des fonctions implicites \\
Courbes parametree, Longueur d'un arc. Nappes parametrees \\
Int\'egrales multiples \\
Theoreme de Fubini, calcul d'int\'egrales, changement de variable \\
Integrales impropres \\
Formes diff\'erentielles, p-formes \\
Integrales curvilignes \\
Theoreme de Green \\
Divergence. \\
Theoreme de Stokes, cas particulier de R^3
Acquis d'Apprentissage du Cours
Être capable de calculer des dérivées partielles de fonctions multivariables
Connaitre des prophètes locales des courbes et des surfaces.
Pouvoir utiliser la fonction inverse locale et les théorèmes de fonctions implicites
Être capable de calculer des intégrales multiples
Pouvoir utiliser les théorèmes de Green et de Stokes
Méthodes d'Enseignement
Cours. Devoir. TD.
Ressources
1) Vector Calculus, 4th Edition, S.J.Colley (Chapitres 3-5-6-7) \\
2) Calculus, with Analytic Geometry, R.A.Silverman (Chapitres 13-14-15) \\
3) Vector Calculus, linear algebra and differential forms, J.H.Hubbard et B.B.Hubbard, (Chapitres 3-4-5-6)\\
4) Exercices: http://exo7.emath.fr/deux.html\\
Intitulés des Sujets
| Semaine | Intitulés des Sujets |
|---|---|
| 1 | Rappel (Topologie Élémentaire + Applications Linéaires) |
| 2 | Limite et continuité d'une fonction de plusieures variables |
| 3 | Fonctions Différentiables |
| 4 | Le théorème du point fixe, Le théorème d'inversion locale |
| 5 | Le théorème des fonctions implicites |
| 6 | Le théorème du rang, Déterminants |
| 7 | Dérivées d'ordre supérieure, Dérivation des intégrales |
| 8 | Integration multiple, Fonctions primitives |
| 9 | Changement de variables |
| 10 | Formes différentielles, Simplexes et Chaînes |
| 11 | Le théorème de Stokes |
| 12 | Formes fermées et formes exactes |
| 13 | Analyse vectorielle |
| 14 | Analyse vectorielle, Théorème de Green |
Système d'évalution
| Activités | Numéro | Contribution |
|---|---|---|
| Contribution du contrôle continu à la note finale | 4 | 50 |
| Contribution de l'examen final à la note finale | 1 | 50 |
| Total | 5 | 100 |
| Activités | Numéro | Contribution |
|---|---|---|
| Devoir | 0 | 0 |
| Présentation | 0 | 0 |
| Examen partiel (temps de préparation inclu) | 1 | 35 |
| Projet | 0 | 0 |
| Travail de laboratoire | 0 | 0 |
| Autres travaux pratiques | 0 | 0 |
| Quiz | 3 | 15 |
| Devoir/projet de session | 0 | 0 |
| Portefeuille | 0 | 0 |
| Rapport | 0 | 0 |
| Journal d'apprentissage | 0 | 0 |
| Mémoire/projet de fin d'études | 0 | 0 |
| Séminaire | 0 | 0 |
| Autre | 0 | 0 |
| Make-up | 0 | 0 |
| Total | 4 | 50 |
Evalution de la Compétence
| No | Objectifs Pédagogiques du Programme | Contribiton | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | ||
| 1 | comprend les principes de la méthode hypothético-déductive; s'est interrogé systématiquement sur la pertinence et la justesse des énoncés mathématique qu'il a rencontré ou produit; | X | ||||
| 2 | sait énoncer et utiliser judicieusement les concepts et les résultats des mathématiques de base; | X | ||||
| 3 | maîtrise les techniques de calcul et les algorithmes courants; possède une bonne intelligence de calcul pour les mettre en œuvre; est capable d'identifier les outils pertinents, parmi ceux qu'il connaît, pour la résolution d'un problème, et est capable de juger s’il ne possède pas ces outils; | X | ||||
| 4 | est capable d'exprimer de manière organisée, tant à l'écrit qu'à l'oral, ses idées mathématiques; | X | ||||
| 5 | a réalisé les relations essentielles qui lient entre eux ces concepts et résultats; est capable de passer de l'un à l'autre de divers mode de représentation des objets mathématiques (dessins, formules, énoncés précis, heuristiques, collection d'exemples,...); | X | ||||
| 6 | a poursuivi, en autonomie, une stratégie d'apprentissage guidée; s'est engagé dans des stratégies de résolution d'un problème complexe; | X | ||||
| 7 | a les bases théoriques et pratiques suffisantes en informatique pour pouvoir poursuivre l'apprentissage d'un langage de programmation; | |||||
| 8 | s'est interrogé sur la pertinence de la modélisation mathématique et l'usage des outils mathématiques dans les sciences naturelles et dans le monde professionnel; a été sensibilisé à l'évolution historique des concepts mathématiques; | |||||
| 9 | a eu l'opportunité de choisir librement certains de ses cours (de mathématiques ou d'autres disciplines) et a, à l'occasion, appris à prendre ses responsabilités et à organiser son projet éducatif par lui-même; | X | ||||
| 10 | a une maîtrise de la langue française et d'une autre langue étrangère suffisante pour pouvoir poursuivre des études ou travailler à l'étranger. | |||||
Tableau de la Charge de Travail
| Activités | Nombre | Durée | Charge totale de Travail |
|---|---|---|---|
| Durée du cours | 14 | 5 | 70 |
| Préparation pour le cours | 14 | 4 | 56 |
| Devoir | 4 | 2 | 8 |
| Examen partiel (temps de préparation inclu) | 1 | 10 | 10 |
| Examen final (temps de préparation inclu) | 1 | 20 | 20 |
| Quiz | 2 | 5 | 10 |
| Charge totale de Travail | 174 | ||
| Charge totale de Travail / 25 | 6.96 | ||
| Crédits ECTS | 7 | ||